1、14多边形与平行四边形 一.选择题1.（2018江苏苏州3 分）如图，在ABC 中，延长 BC至 D，使得 CD= BC，过 AC中点 E作EFCD（点 F位于点 E右侧） ，且 EF=2CD，连接 DF若 AB=8，则 DF的长为（ ）A3 B4 C2 D3【分析】取 BC的中点 G，连接 EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设 CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形 EGDF是平行四边形，可得 DF=EG=4【解答】解：取 BC的中点 G，连接 EG，E 是 AC的中点，EG 是ABC 的中位线，EG= AB= =4，设 CD=x，则 EF=BC=2x，BG=CG=x，EF=2x=
2、DG，EFCD，四边形 EGDF是平行四边形，DF=EG=4，故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键2.（2018山东东营市3 分）如图，在四边形 ABCD中，E 是 BC边的中点，连接 DE并延长，交AB的延长线于点 F，AB=BF添加一个条件使四边形 ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）AAD=BC BCD=BF CA=C DF=CDF15【分析】正确选项是 D想办法证明 CD=AB，CDAB 即可解决问题；【解答】解：正确选项是 D理由：F=CDF，CED=BEF，EC=BE，CDEBFE，CDAF
3、，CD=BF，BF=AB，CD=AB，四边形 ABCD是平行四边形故选：D【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3.（2018山东济宁市3 分）如图， 在 五边形 ABCDE 中， A+B +E= 300， DP、 CP 分别平分ED C.B CD，则 P =（ ）A5 0 B5 5 C 60 D6 5【解答】解：在五边形AB CDE 中，A+B +E= 300，E CD+B CD=240，又D P、C P 分别平分 ED C.B CD，PD C+PCD =120，CDP 中，P= 180（PD C+PCD
4、 ）=1 801 20=60 故选：C 164. （2018乌鲁木齐4 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】根据内角和定理 180（n2）即可求得【解答】解：多边形的内角和公式为（n2）180，（n2）180=720，解得 n=6，这个多边形的边数是 6故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即 180（n2） ，难度适中4. （2018临安3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中 BAC= 36 度【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的
5、性质即可解决问题【解答】解： ABC= =108， ABC是等腰三角形， BAC= BCA=36度【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质n边形的内角和为：180（ n2） 5. （2018广西玉林3 分）在四边形 ABCD中：ABCDADBCAB=CDAD=BC，从以上选择两个 条件使四边形 ABCD为平行四边形的选法共有（ ）A3 种 B4 种 C5 种 D6 种【分析】根据平行四边形的判定方法中，、均可判定是平行四边形【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有 4种，分别是：、故选：B6. （2018黑龙江龙东地区3 分）如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC.B
6、D相交于点 O，AE17平分BAD，分别交 BC.BD于点 E.P，连接 OE，ADC=60，AB= BC=1，则下列结论：CAD=30BD= S 平行四边形 ABCD=ABACOE= ADS APO = ，正确的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】先根据角平分线和平行得：BAE=BEA，则 AB=BE=1，由有一个角是 60度的等腰三角形是等边三角形得：ABE 是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：ACE=30，最后由平行线的性质可作判断；先根据三角形中位线定理得：OE= AB= ，OEAB，根据勾股定理计算 OC= =和 OD的长，可得 BD的长；因为BAC=90，根据平行
7、四边形的面积公式可作判断；根据三角形中位线定理可作判断；根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S AOE =SEOC = OEOC= ， = ，代入可得结论【解答】解：AE 平分BAD，BAE=DAE，四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，ABC=ADC=60，DAE=BEA，BAE=BEA，AB=BE=1，ABE 是等边三角形，AE=BE=1，BC=2，EC=1，AE=EC，EAC=ACE，AEB=EAC+ACE=60，ACE=30，18ADBC，CAD=ACE=30，故正确；BE=EC，OA=OC，OE= AB= ，OEAB，EOC=BAC=60+30=90，RtEOC 中，OC=
8、 = ，四边形 ABCD是平行四边形，BCD=BAD=120，ACB=30，ACD=90，RtOCD 中，OD= = ，BD=2OD= ，故正确；由知：BAC=90，SABCD=ABAC，故正确；由知：OE 是ABC 的中位线，OE= AB，故不正确；四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC= ，S AOE =SEOC = OEOC= = ，OEAB， ， = ，S AOP = = = ；故正确；19本题正确的有：，4 个，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形 30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明ABE 是等边三角
9、形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系7.（2018福建 A卷4 分）一个 n边形的内角和为 360，则 n等于（ ）A3 B4 C5 D6【分析】n 边形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求 n【解答】解：根据 n边形的内角和公式，得：（n2）180=360，解得 n=4故选：B【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键8. （2018福建 B卷4 分）一个 n边形的内角和为 360，则 n等于（ ）A3 B4 C5 D6【分析】n 边形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的
10、内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求 n【解答】解：根据 n边形的内角和公式，得：（n2）180=360，解得 n=4故选：B【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键7.（2018贵州黔西南州4 分）如图在ABCD 中，已知 AC=4cm，若ACD 的周长为 13cm，则ABCD的周长为（ ）A26cm B24cm C20cm D18cm【分析】根据三角形周长的定义得到 AD+DC=9cm然后由平行四边形的对边相等的性质来求20平行四边形的周长【解答】解：AC=4cm，若ADC 的周长为 13cm，AD+DC=134=9（cm） 又
11、四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，平行四边形的周长为 2（AB+BC）=18cm故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性质此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质8.（2018贵州铜仁4 分）如果一个多边形的内角和是外角和的 3倍，则这个多边形的边数是（ ）A8 B9 C10 D11【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算【解答】解：多边形的外角和是 360，根据题意得：180（n2）=3360解得 n=8故选：A9.（2018海南3 分）如图，ABCD 的周长为 36，对角线 AC.BD相交于点 O，点 E是 CD的中点，BD=12，则DOE 的周长为（ ）A15
12、B18 C21 D24【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；【解答】解：平行四边形 ABCD的周长为 36，BC+CD=18，OD=OB，DE=EC，OE+DE= （BC+CD）=9，BD=12，OD= BD=6，DOE 的周长为 9+6=15，故选：A21【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型14(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，在四边形 ABCD中，ADAB，C=110，它的一个外角ADE=60，则B 的大小是 40 【分析】根据外角的概念求出ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和
13、等于 360计算即可【解答】解：ADE=60，ADC=120，ADAB，DAB=90，B=360CADCA=40，故答案为：40【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于 360、外角的概念是解题的关键15. （2018乌鲁木齐4 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】根据内角和定理 180（n2）即可求得【解答】解：多边形的内角和公式为（n2）180，（n2）180=720，解得 n=6，这个多边形的边数是 6故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即 180（n2） ，难度适中二.填空题1. （2018湖北江汉油
14、田、潜江市、天门市、仙桃市3 分）若一个多边形的每个外角都等于30，则这个多边形的边数为 12 【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可【解答】解：一个多边形的每个外角都等于 30，又多边形的外角和等于 360，22多边形的边数是 =12，故答案为：12【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和等于 360是解此题的关键2. （2018湖南郴州3 分）一个正多边形的每个外角为 60，那么这个正多边形的内角和是 720 【分析】先利用多边形的外角和为 360计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解【解答】解：这个正多边形的边数为 =6，所以这个正多边形的内角和=（62
15、）180=720故答案为 720【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n2）180 （n3）且 n为整数） ；多边形的外角和等于 360度3. （2018湖南怀化4 分）一个多边形的每一个外角都是 36，则这个多边形的边数是 10 【分析】多边形的外角和是固定的 360，依此可以求出多边形的边数【解答】解：一个多边形的每个外角都等于 36，多边形的边数为 36036=10故答案为：10【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是 3604.（2018江苏宿迁3 分）一个多边形的内角和是其外角和的 3倍，则这个多边形的边数是_.【答案】8【分析】根据多边形的内角和公式，
16、多边形外角和为 360，根据题意列出方程，解之即可.【详解】设这个多边形边数为 n，（n-2）180=3603，n=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为 360度是解题的关键.5.（2018江苏无锡2 分）如图，已知XOY=60，点 A在边 OX上，OA=2过点 A作 ACOY于点 C，以 AC为一边在XOY 内作等边三角形 ABC，点 P是ABC 围成的区域（包括各边）内23的一点，过点 P作 PDOY 交 OX于点 D，作 PEOX 交 OY于点 E设 OD=a，OE=b，则 a+2b的取值范围是 2a+2b5 【分析】作辅助线，
17、构建 30度的直角三角形，先证明四边形 EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在 RtHEP 中，EPH=30，可得 EH的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH最大和最小值的位置，可得结论【解答】解：过 P作 PHOY 交于点 H，PDOY，PEOX，四边形 EODP是平行四边形，HEP=XOY=60，EP=OD=a，RtHEP 中，EPH=30，EH= EP= a，a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，当 P在 AC边上时，H 与 C重合，此时 OH的最小值=OC= OA=1，即 a+2b的最小值是 2；当 P在点 B时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值
18、是 5，2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b的最值就是确认 OH最值的范围6.（2018山东聊城市3 分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 540或 360或 180 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解【解答】解：n 边形的内角和是（n2）180，边数增加 1，则新的多边形的内角和是（4+12）180=540，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（42）180=360，
19、所得新的多边形的边数减少 1，则新的多边形的内角和是（412）180=180，因而所成的新多边形的内角和是 540或 360或 180故答案为：540或 360或 180【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则24所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键7.（2018山东济宁市3 分）在 ABC 中， 点E， F 分别是 边AB ， AC 的中点， 点D 在B C 边上，连接D E，D F，EF，请 你添加一个条件 D 是B C 的中点 ，使 BED 与FD E 全25等【解答】解：当D 是B C 的中点时，B EDF
20、D E，E，F 分别是边AB，A C 的中点，EFB C，当E，D 分别是边AB，B C 的中点时，ED A C，四边形B EFD 是平行四边形，B EDFD E， 故答案为：D 是 BC 的中点8. （2018上海4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC的中点，联结 DE并延长，与 AB的延长线交于点 F设 = ， = 那么向量 用向量 、 表示为 +2 【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC是平行四边形，则 DC=BF，故 AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答【解答】解：如图，连接 BD，FC，四边形 ABCD是平行四边形，DCAB，DC=ABDCEF
21、BE又 E是边 BC的中点， = = ，EC=BE，即点 E是 DF的中点，四边形 DBFC是平行四边形，DC=BF，故 AF=2AB=2DC，26 = + = +2 = +2 故答案是： +2 【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质注意掌握三角形法则的应用是关键9. （2018上海4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，那么该多边形的内角和是 度【分析】利根据题意得到 2条对角线将多边形分割为 3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和【解答】解：从某个多
22、边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，则将多边形分割为 3个三角形所以该多边形的内角和是 3180=540故答案为 540【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n2）180 （n3）且 n为整数） 此公式推导的基本方法是从 n边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将 n边形分割为（n2）个三角形10. 如图，在四边形 ABCD中，B=D=90，A=60，AB=4，则 AD的取值范围是 2AD8 【分析】如图，延长 BC交 AD的延长线于 E，作 BFAD 于 F解直角三角形求出 AE.AF即可判断；【解答】解：如图，延长 BC交 AD的延长线于 E，作 BFAD 于 F在
23、RtABE 中，E=30，AB=4，27AE=2AB=8，在 RtABF 中，AF= AB=2，AD 的取值范围为 2AD8，故答案为 2AD8角形的中位线定理表示 AD=2x，ADEF，可得CAD=CEF=45，证明EMC 是等腰直角三角形，则CEM=45，证明ENFMNB，则 EN=MN= x，BN=FN= ，最后利用勾股定理计算 x的值，可得 BC的长【解答】解：设 EF=x，点 E.点 F分别是 OA.OD的中点，EF 是OAD 的中位线，AD=2x，ADEF，CAD=CEF=45，四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC=2x，ACB=CAD=45，EMBC，EMC=90，
24、EMC 是等腰直角三角形，CEM=45，连接 BE，AB=OB，AE=OEBEAOBEM=45，BM=EM=MC=x，BM=FE，易得ENFMNB，EN=MN= x，BN=FN= ，RtBNM 中，由勾股定理得：BN 2=BM2+MN2， ，x=2 或 2 （舍） ，BC=2x=4 故答案为：4 28【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题11. （2018黑龙江哈尔滨3 分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC.BD相交于点 O，AB=OB，点 E.点 F分别是 OA.OD的中点，
25、连接 EF，CEF=45，EMBC 于点 M，EM 交 BD于点 N，FN= ，则线段 BC的长为 4 【分析】设 EF=x，根据三12.（2018贵州贵阳4分）如图， 点 M、 N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB.BC 上的点， 且 AM BN ， 点 O 是正五边形的中心，则 MON 的度数是 度 .【解 】方 法一： 特殊 位置， 即 OM AB， ON BC 时， MON 360 725方 法 二 ： 一 般 位 置 ，作 OP AB， OQ BC ，如 图所 示：29易得 ： Rt OPM Rt OQN ，则 POM QON POQ POM MOQ由 NOM NOQ MOQ
26、 MON POQ 360 72513.（2018海南4 分）五边形的内角和的度数是 540 【分析】根据 n边形的内角和公式：180（n2） ，将 n=5代入即可求得答案【解答】解：五边形的内角和的度数为：180（52）=1803=540故答案为：540【点评】此题考查了多边形的内角和公式此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键14. （2018上海4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC的中点，联结 DE并延长，与 AB的延长线交于点 F设 = ， = 那么向量 用向量 、 表示为 +2 【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC是平行四边形，则 DC=BF，故 A
27、F=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答【解答】解：如图，连接 BD，FC，四边形 ABCD是平行四边形，DCAB，DC=ABDCEFBE又 E是边 BC的中点，30 = = ，EC=BE，即点 E是 DF的中点，四边形 DBFC是平行四边形，DC=BF，故 AF=2AB=2DC， = + = +2 = +2 故答案是： +2 【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质注意掌握三角形法则的应用是关键15. （2018上海4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，那么该多边形的
28、内角和是 度【分析】利根据题意得到 2条对角线将多边形分割为 3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，则将多边形分割为 3个三角形所以该多边形的内角和是 3180=540故答案为 540【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n2）180 （n3）且 n为整数） 此公式推导的基本方法是从 n边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将 n边形分割为（n2）个三角形三.解答题1.（2018江苏宿迁8 分）如图，在ABCD 中，点 E.F分别在边 CB.AD的延长线上，且 BEDF，EF 分别与AB.CD交于点
29、 G、H，求证：AGCH.【答案】证明见解析.31【分析】根据平行四边形的性质得 ADBC，AD=BC，A=C，根据平行线的性质得E=F，再结合已知条件可得 AF=CE，根据 ASA得CEHAFG，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】在四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，A=C，E=F，又BEDF，AD+DF=CB+BE，即 AF=CE，在CEH 和AFG 中， ，CEHAFG，CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2.已知四边形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O，给出下列四个论断：OA=OC，AB=C
30、D，BAD=DCB，ADBC请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：构造一个真命题，画图并给出证明；构造一个假命题，举反例加以说明【分析】如果结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果结合，和结合的情况相同；如果结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是，它有可能是等腰梯形【解答】解：（1）为论断时：ADBC，DAC=BCA，ADB=DBC又OA=OC，AODCOBAD=BC四边形 ABCD为平行四边形（2）为
31、论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断3.（2018江苏无锡8 分）如图，平行四边形 ABCD中，E.F 分别是边 BC.AD的中点，求证：ABF=CDE【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案【解答】解：在ABCD 中，AD=BC，A=C，32E.F 分别是边 BC.AD的中点，AF=CE，在ABF 与CDE 中，ABFCDE（SAS）ABF=CDE【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型 4.（201
32、8江苏淮安8 分）已知：如图，ABCD 的对角线 AC.BD相交于点 O，过点 O的直线分别与 AD.BC相交于点 E.F求证：AE=CF【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出EAC=FCO，再利用 ASA求出AOECOF，即可得出答案【解答】证明：ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AO=CO，ADBC，EAC=FCO，在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA） ，AE=CF【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键5 （2018临安6 分）已知：如图， E.F是平行四边形 ABCD的对角线
33、AC上的两点， AE=CF求证：（1） ADF CBE；（2） EB DF33【分析】 （1）要证 ADF CBE，因为 AE=CF，则两边同时加上 EF，得到 AF=CE，又因为 ABCD是平行四边形，得出 AD=CB， DAF= BCE，从而根据 SAS推出两三角形全等；（2）由全等可得到 DFA= BEC，所以得到 DF EB【解答】证明：（1） AE=CF， AE+EF=CF+FE，即 AF=CE又 ABCD是平行四边形， AD=CB， AD BC DAF= BCE在 ADF与 CBE中， ADF CBE（ SAS） （2） ADF CBE， DFA= BEC DF EB【点评】本题考
34、查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 AAS、 ASA.HL注意： AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6.（2018湖州10 分）已知在 RtABC 中，BAC=90，ABAC，D，E 分别为 AC，BC 边上的点（不包括端点） ，且 = =m，连结 AE，过点 D作 DMAE，垂足为点 M，延长 DM交 AB于点 F（1）如图 1，过点 E作 EHAB 于点 H，连结 DH求证：四边形 DHEC是平行四边形；若 m= ，求证：AE=DF；（2）如图 2，若 m= ，求
35、的值34【分析】 （1）先判断出BHEBAC，进而判断出 HE=DC，即可得出结论；先判断出 AC=AB，BH=HE，再判断出HEA=AFD，即可得出结论；（2）先判断出EGBCAB，进而求出 CD：BE=3：5，再判断出AFM=AEG 进而判断出FADEGA，即可得出结论【解答】解：（1）证明：EHAB，BAC=90，EHCA，BHEBAC， ， ， ， ，HE=DC，EHDC，四边形 DHEC是平行四边形； ， BAC=90，AC=AB， ，HE=DC ，HE=DC， ，BHE=90，BH=HE，HE=DC，BH=CD，AH=AD，DMAE，EHAB，EHA=AMF=90，HAE+HEA=
36、HAE+AFM=90，HEA=AFD，EHA=FAD=90，35HEAAFD，AE=DF；（2）如图 2，过点 E作 EGAB 于 G，CAAB，EGCA，EGBCAB， ， ， ，EG=CD，设 EG=CD=3x，AC=3y，BE=5x，BC=5y，BG=4x，AB=4y，EGA=AMF=90，GEA+EAG=EAG+AFM，AFM=AEG，FAD=EGA=90，FADEGA， =【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出HEA=AFD 是解本题的关键7. （2018黑龙江大庆7 分）如图，在 RtABC 中，ACB=
37、90，D.E 分别是 AB.AC的中点，连接 CD，过 E作 EFDC 交 BC的延长线于 F（1）证明：四边形 CDEF是平行四边形；36（2）若四边形 CDEF的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB的长度【分析】 （1）由三角形中位线定理推知 EDFC，2DE=BC，然后结合已知条件“EFDC” ，利用两组对边相互平行得到四边形 DCFE为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到 AB=2DC，即可得出四边形 DCFE的周长=AB+BC，故 BC=25AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】 （1）证明：D.E 分别是 AB.AC的中点，F 是
38、BC延长线上的一点，ED 是 RtABC 的中位线，EDFCBC=2DE，又 EFDC，四边形 CDEF是平行四边形；（2）解：四边形 CDEF是平行四边形；DC=EF，DC 是 RtABC 斜边 AB上的中线，AB=2DC，四边形 DCFE的周长=AB+BC，四边形 DCFE的周长为 25cm，AC 的长 5cm，BC=25AB，在 RtABC 中，ACB=90，AB 2=BC2+AC2，即 AB2=（25AB） 2+52，解得，AB=13cm，8. （8 分）如图，点 B.F、C.E 在一条直线上，FB=CE，ABED，ACFD，AD 交 BE于 O求证：AD 与 BE互相平分37【分析】
39、连接 BD，AE，判定ABCDEF（ASA） ，可得 AB=DE，依据 ABDE，即可得出四边形 ABDE是平行四边形，进而得到 AD与 BE互相平分【解答】证明：如图，连接 BD，AE，FB=CE，BC=EF，又ABED，ACFD，ABC=DEF，ACB=DFE，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（ASA） ，AB=DE，又ABDE，四边形 ABDE是平行四边形，AD 与 BE互相平分【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论9. （2018湖北省恩施12 分）如图，已知抛物线交 x轴于 A.B两点，交 y轴于 C点，A 点坐标为（1，
40、0） ，OC=2，OB=3，点 D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以 B.C.D.P为顶点的四边形是平行四边形，求 P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1.M2.M3使得M 1BC.M 2BC.M 3BC的面积均为定值 S，求出定值 S及M1.M2.M3这三个点的坐标38【分析】 （1）由 OC与 OB的长，确定出 B与 C的坐标，再由 A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD是平行四边形；当四边形 BCPD是平行四边形；四边形 BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出 P坐标即可；（3）由 B与 C坐标
41、确定出直线 BC解析式，求出与直线 BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线 BC解析式，进而确定出另一条与直线 BC平行且与 BC距离相等的直线解析式，确定出所求 M坐标，且求出定值 S的值即可【解答】解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0） ，C（0，2） ，设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x3） ，把 C（0，2）代入得：2=3a，即 a= ，则抛物线解析式为 y= （x+1） （x3）= x2+ x+2；（2）抛物线 y= （x+1） （x3）= x2+ x+2= （x1） 2+ ，D（1， ） ，当四边形 CBPD是平行四边形时，由 B（3，0）
42、，C（0，2） ，得到 P（4， ） ；当四边形 CDBP是平行四边形时，由 B（3，0） ，C（0，2） ，得到 P（2， ） ；当四边形 BCPD是平行四边形时，由 B（3，0） ，C（0，2） ，得到 P（2， ） ；（3）设直线 BC解析式为 y=kx+b，把 B（3，0） ，C（0，2）代入得： ，解得： ，y= x+2，39设与直线 BC平行的解析式为 y= x+b，联立得： ，消去 y得：2x 26x+3b6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，=368（3b6）=0，解得：b= ，即 y= x+ ，此时交点 M1坐标为（ ， ） ；可得出两平行线间的距离为 ，同理可得另一条与
43、BC平行且平行线间的距离为 的直线方程为 y= x+ ，联立解得：M 2（ ， ） ，M 3（ ， ） ，此时 S=1【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键10.（2018福建 A卷8 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O且与 AD，BC 分别相交于点 E，F求证：OE=OF【分析】由四边形 ABCD是平行四边形，可得 OA=OC，ADBC，继而可证得AOECOF（ASA） ，则可证得结论【解答】证明：四边形 ABCD是平行四边形，40OA=OC，ADBC，O
44、AE=OCF，在OAE 和OCF 中，AOECOF（ASA） ，OE=OF【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用11.（2018福建 B卷8 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O且与 AD，BC 分别相交于点 E，F求证：OE=OF【分析】由四边形 ABCD是平行四边形，可得 OA=OC，ADBC，继而可证得AOECOF（ASA） ，则可证得结论【解答】证明：四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC，ADBC，OAE=OCF，在OAE 和OCF 中，AOECOF（ASA） ，OE=OF【点评】此题考
45、查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用12.( 2018广 西 北 海 8分 ） 如 图 ， 在 ABCD 中 ， AE BC， AF CD， 垂 足 分 别 为 E.F， 且 BE=DF.（ 1） 求证：ABCD 是 菱 形 ；（ 2） 若 AB=5,AC=6，求ABCD 的 面 积 。【解答】41证 明 ： （1 ）四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ，B=DAEBC，AFDC，AEB=AFD=90，又BE=DF，AEBAFD(ASA)AB=AD，四边形 ABCD 是菱形42:（2）如图, 连接 BD 交 AC 于点O由（1）知四边形ABCD 是菱形，AC = 6ACBD, AO=OC= = AC = = 6 = 3，: :AB=5,AO=3,在 Rt AOB 中 ， BO = A B: AO: = 5 : 3: = 4,BD=2BO=8,S ABCD = AC
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