1、1三 立体几何(A)1.(2018辽宁模拟)如图,已知 PA垂直于矩形 ABCD所在的平面,M,N 分别是 AB,PC的中点,若PDA=45,(1)求证:MN平面 PAD;(2)求证:MN平面 PCD.2.(2018乐山二模)如图,在四棱锥 P ABCD中,PA平面 ABCD,底面 ABCD是菱形,PA=AB=2,E为 PA的中点,BAD=60.(1)求证:PC平面 EBD;(2)求三棱锥 P EDC的体积.3.(2018闵行区一模)如图,已知 AB是圆锥 SO的底面直径,O 是底面圆心,SO=2 ,AB=4,P3是母线 SA的中点,C 是底面圆周上一点, AOC=60.(1)求圆锥的侧面积;
2、(2)求直线 PC与底面所成的角的大小.4.(2018洛阳一模)在如图所示的几何体中,平面 CDEF为正方形,平面 ABCD为等腰梯形,ABCD,AC= ,AB=2BC=2,ACFB.32(1)求证:AC平面 FBC;(2)求四面体 FBCD的体积;(3)线段 AC上是否存在点 M,使 EA平面 FDM?证明你的结论.1.证明:(1)如图,取 PD的中点 E,连接 AE,NE.因为 E,N分别为 PD,PC的中点,所以 EN CD,12又 M为 AB的中点,AB CD,所以 AM CD,12所以 EN AM,所以四边形 AMNE为平行四边形.所以 MNAE,又 AE平面 PAD,MN平面 PA
3、D,所以 MN平面 PAD.(2)因为 PA平面 ABCD,PDA=45,所以PAD 为等腰直角三角形,又 E为 PD的中点,所以 AEPD,可证得 CDPA,又因为 CDAD,ADPA=A,所以 CD平面 PAD,因为 AE平面 PAD,所以 CDAE,又 CDPD=D,所以 AE平面 PCD,又 MNAE,所以 MN平面 PCD.2.(1)证明:设 AC与 BD相交于点 O,连接 OE.3由题意知,底面 ABCD是菱形,则 O为 AC的中点,又 E为 AP的中点,所以 OECP,因为 OE平面 BDE,PC平面 BDE,所以 PC平面 BDE.(2)解:因为 E为 PA的中点,所以 SPC
4、E = SPAC = 2 2= ,12 12 12 3 3因为四边形 ABCD是菱形,所以 ACBD,又因为 PA平面 ABCD,所以 PABD,又 PAAC=A,所以 DO平面 PAC,即 DO是三棱锥 D PCE的高,DO=1,则 = = 1= .13 33.解:(1)因为 AB是圆锥 SO的底面直径,O 是底面圆心,SO=2 ,AB=4,3所以底面半径 r= =2,2母线长 l=SA= = =4,2+2所以圆锥的侧面积 S=rl=24=8.(2)过点 P作 PEAB,交 AO于 E,由已知得 PE圆锥底面,连接 CE,则 CE为 PC在底面上的射影,所以PCE 是直线 PC与底面所成的角
5、.由于 OA=OC,AOC=60,所以 CEAO.在 RtPEC 中,PE= SO= ,CE= = .12 3 2212 3所以PCE= ,4所以直线 PC与底面所成的角为 .4.(1)证明:在ABC 中,因为 AC= ,AB=2,BC=1,所以 AC2+BC2=AB2.所以 ACBC.又因为 ACFB,FBBC=B,所以 AC平面 FBC.(2)解:因为 AC平面 FBC,所以 ACFC.因为 CDFC,且 CDAC=C,所以 FC平面 ABCD.在 RtACB 中,BC= AB,12所以CAB=30,所以在等腰梯形 ABCD中可得ABD=CDB=CBD=30,所以 CB=DC=1,BCD=120,所以 FC=1.所以BCD 的面积 S= 12sin 120= .12所以四面体 FBCD的体积为 = SFC= .13 312(3)解:线段 AC上存在点 M,且 M为 AC中点时,有 EA平面 FDM,证明如下:连接 CE与 DF交于点 N,取 AC中点 M,连接 MN,DM,FM.由于平面 CDEF为正方形,所以 N为 CE中点.所以 EAMN.因为 MN平面 FDM,EA平面 FDM,所以 EA平面 FDM.所以线段 AC上存在点 M,使得 EA平面 FDM成立.
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