1、第2课时 概率、随机变量及其分布列,热点考向一古典概型、几何概型 考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题,主要考 查古典概型、几何概型的概率计算.考查运算求解能力 及应用意识,为基础题或中档题,分值为5分.2019年的高考仍将以选择题、填空题的形式考查, 除常规的概率计算问题,还应注意与数学文化的渗透.,【典例1】(1)(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( ),(2)(2018赤峰二模)如图在矩形OABC中的
2、曲线分别是 y=sin x,y=cos x,A ,C(0,1),在矩形OABC内随 机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 ( ),(3)(2018郑州一模)如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”,那么从长方体八个顶点中任取四个顶点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为_.,【解析】(1)选C.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29共10个,其中和为30的有7+23,11+19, 13+17.所以随机选取两个数,和为30的概率为,(2)选B.由题可知图中阴影部分的面积S=2 (cos x -sin x)dx=2(sin x+cos x) =2(
3、 -1),易知矩形 OABC的面积为 ,所以在矩形OABC内随机取一点, 此点取自阴影部分的概率为,(3)从8个顶点任取4个顶点共有 =70种选择方法;如图所示,三棱锥C-A1AB是“三节棍体”:,可分以下三步确定“三节棍体”的个数,从六个面中 取一个面有 =6种取法,从一个面中的四个点中取 出三个点有 =4种取法,另外一个点有2种取法,考 虑到重复性(如三棱锥C-A1AB与三棱锥A1-ABC重复), 可知满足是“三节棍体”的有 =24种,故所求 概率为P= 答案:,【易错警示】解答本题容易出现重复计数,导致所得 概率为 的错误.,【探究追问】把例1(2)的矩形改为矩形ABCD,其四个顶点的坐
4、标分别为A(0,-1),B(,-1),C(,1),D(0,1),如图所示,在矩形ABCD内随机取一点,试计算此点取自阴影部分的概率.,【解析】根据题意,可得曲线y=sin x与y=cos x围成 的区域,其面积为 (sin x-cos x)dx=(-cos x- sin x) 又矩形ABCD的面积为 2,由几何概型概率公式得该点取自阴影区域的概 率是,【名师点睛】 1.利用古典概型求概率的关键及注意点 (1)关键:正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数,这常常用到排列、组合的有关知识. (2)注意点:对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏.,2.几何概型的适用条件及求解关
5、键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)求解关键:构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的确定是关键,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.,【考向精炼】 1.设不等式组 所表示的区域为M,函数y=的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投 一个点,则该点落在N内的概率为( ),【解析】选B.作出图形如图所示:,则区域M为ABC,区域N为单位圆的下半圆,点O到直线 x+y=- 和直线x-y= 的距离均为 =1,故半圆与 AB,BC相切.所以向M内随机投一个点,则该点落在N内 的概率为P=,2.党的十九大报告指出,建
6、设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程,必须把教育事业放在优先位置,深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教,将这6名毕业生全部进行安排,每所学校至少安排2名毕业生,则每所学校,男女毕业生至少安排一名的概率为 世纪金榜导学号( ),【解析】选C.由题意,将这六名毕业生全部进行安排, 每所学校至少2名毕业生,基本事件的总数为N= =50种,每所学校男女毕业生至少安排 一名共有:,一是其中一个学校安排一女一男,另一个学校有一女 三男,有 =16种, 二是其中一个学校安排一女两男,另一个学校有一女 两男,有 =12种, 共有16+12=28种,所以概率为P=
7、,【加练备选】 1.(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数 x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对 共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近 似值为 ( ),【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中, 由几何概型概率计算公式知 所以=,2.在区间0,上随机取一个数x,使- cos x 的概率为 ( ),【解析】选B.因为0x,- cos x ,所以x ,区间长度为 ,则对应的概率,3.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的
8、跳舞机器人,从这批跳舞机器人中随机抽取了8个,其中有2个是次品,现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员,则测验员拿到次品的概率是 ( ),【解析】选D.根据题意可得P=,热点考向二 条件概率及相互独立事件的概率 考向剖析:本考向考查形式为选择填空题,主要考查条件概率、相互独立事件的概率计算.考查运算求解能力及应用意识,为基础题或中档题,分值为5分.2019年的高考仍将以选择填空题的形式考查,仍将以常规的概率计算问题为主.,【典例2】(1)(2018濮阳二模)如图,已知电路中4个 开关闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的 概率为 ( ),(2)在中心为O的正六边形ABCDEF的电子游
9、戏盘中(如图),按下开关键后,电子弹从O点射出后最后落入正六边形的六个角孔内,且每次只能射出一个,现将A,B,C,D,E,F对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关,记事件M为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则P(N|M)= ( ),(3)(2018孝义一模)某游戏中一个珠子从通道(图中 实线表示通道)由上至下滑下(假设珠子滑向每个通道 是等可能的),从最下面的六个出口(如图中1,2,3,4, 5,6所示)出来,规定猜中出口者为胜,如果你在该游戏 中,猜得珠子从3号出口出来,那么你取胜的概率为 _.,【解析】(1)选D.记甲、
10、乙、丙、丁这4个开关闭合分 别为事件A,B,C,D,又记甲与乙至少有一个不闭合为事 件 ,则P( )=P(A )+P( B)+P( )= ,则灯 亮的概率为P=1-P( )=1-P( )P( )P( ) =1-,(2)选D.事件MN包括:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4), (4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9种,而事件M包括 (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1), (3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3), (5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18种,由
11、题可得, P(N|M)=,(3)因为从A到3总共有 =10种走法,每一种走法的概 率都是 ,所以珠子从出口3出来的概率是 答案:,【名师点睛】 1.条件概率的求法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= 这是通用的求条件概率的方法.,(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件 数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事 件数,即n(AB),得P(B|A)=,2.求复杂事件概率的方法及注意点 (1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.,(
12、2)间接法:当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解. (3)注意点:注意辨别独立重复试验的基本特征:在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况;在每次试验中,事件发生的概率相同.,【考向精炼】 1.(2018西宁一模)先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且xy”,则概率P(B|A)= ( ),【解析】选A.由题意可得P(AB)= P(A)= 所以P(B|A)=,2.高三某位
13、同学参加物理、化学、政治科目的等级考, 已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的 概率分别为 ,这三门科目考试成绩的结果互不 影响,则这位考生至少得2个A+的概率是_.,【解析】这位考生至少得2个A+可分以下两种情况: (1)恰有两门得A+;(2)三门都得A+.其概率为 答案:,3.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是 ,反复 这样投掷,数列an定义如下:an= 若Sn=a1+a2+an(nN*),则“S20,S8=2”的概率 是_. 世纪金榜导学号,【解析】事件“S20,S8=2”是指:(1)前2次都是正面, 后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反, 故其概率为P=
14、 答案:,【加练备选】 1.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功 的概率分别为 .现安排甲组研发新产品A,乙组研 发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立,则至少有一 种新产品研发成功的概率为_.,【解析】设至少有一种新产品研发成功的事件为事件 A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品 都没有成功, 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 . 则P(B)=,再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1-P(B) = ,故至少有一种新产品研发成功的概率是 . 答案:,2.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),从中抽取一个同学的数学成绩
15、,记该同学的成绩90110为事件A,记该同学的成绩80100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)=_.(用分数表示),附:X满足P(-X+)0.68,P(-2X +2)0.95,P(-3X+3)0.99.,【解析】由题意,P(A)0.475,P(AB) (0.95-0.68) =0.135,所以P(B|A)= 答案:,热点考向三 概率与频率、离散型随机变量的分布列 高频考向,类型一 以统计图表为背景的随机 变量的分布列问题 【典例3】(2018洛阳二模)某超市计划月订购一种冰激凌,每天进货量相同,进货成本每桶5元,售价每桶7元,未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理
16、完毕,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温,(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量600桶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为400桶;如果最高气温低于20,需求量为200桶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.,(1)求六月份这种冰激凌一天需求量X(单位:桶)的分布列. (2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位:元),当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位:桶)为多少时,Y的数学期望取得最大值?,【审题导引】 (1)要求冰激凌一天需求量X的分布列,只要确定
17、_及其对应事件的含义,然后用频率估计概率. (2)要求Y的数学期望,只要明确_的关系,借助 X的分布列,得到Y的期望.,X的取值,X与Y,【解析】(1)由已知得:X的可能取值为200,400和600.记六月份最高气温低于20为事件A1,最高气温位于区间20,25)为事件A2,最高气温不低于25为事件A3.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率,知,P(X=200)=P(A1)= P(X=400)=P(A2)= P(X=600)=P(A3)= 故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位:桶)的分布列为:,(2)结合题意得当n200时,E(Y)=2n400. 当200n400时,E(Y)= 2002
18、+(n-200) (-2)+ n2= n+160(400,640. 当400n600时,E(Y)= 2002+(n-200) (-2)+ 4002+(n-400)(-2)+ n2 =- n+800560,640).,当n600时,E(Y)= 2002+(n-200)(-2)+4002+(n-400)(-2)+ 6002+ (n-600)(-2)=1 760-2n560. 所以当n=400时,Y的数学期望E(Y)取得最大值640.,类型二 以复杂事件概率计算为背景的随机 变量的分布列问题 【典例4】2018年2月22日,在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录
19、的优异表现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零,的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则,运动员自 出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过 4个直道与弯道的交接口Ak(k=1,2,3,4).已知某男子速 滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ,摔倒的 概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时,才停止滑行,现在用X表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后,在最后一圈顺利通过的交接口数. (1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率. (2)求X的分布列及数学期望E(X).,【大题小做】,【解析】 (1)由题意可知:P=
20、 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4. 则P(Ak)= (k=1,2,3,4), 且A1,A2,A3,A4相互独立. 故P(X=0)=P( )= ,P(X=1)=P(A1 )= P(X=2)=P(A1A2 )= P(X=3)=P(A1A2A3 )= P(X=4)=P(A1A2A3A4)=,从而X的分布列为,所以E(X)=0 +1 +2 +3 +4 =,【名师点睛】 1.解以统计图表为背景的随机变量的分布列问题的两个关键点 (1)根据频率(数)分布表、频率分布直分图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率,并用之估计相应概率.,(2)出现多个随机变量时,应注意分析随机变量之间的关系,进而由一
21、个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.,2.解以复杂事件概率计算为背景的随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率.,(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从特殊分布,则可直接使用公式求解.,【考向精炼】 1.(2018乌鲁木齐三模)小明和他的一些同学住在同一小区.他们上学、放学坐公交在路上所用的时间X(分钟)只与路况畅通情况有关(上学、放学时的路况是一样的),小明在一年当中随机地记录了200次上学(或放学)在路上所用的时间,其频数统计如下表,(1)求他
22、上学(或放学)在路上所用时间的数学期望E(X). (2)小明和他的另外两名同学4月23日彼此独立地从小区到学校去,设他们3人中所用时间不超过E(X)的人数为Y,求Y的分布列及数学期望. (3)小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过40分钟的概率是多少?,【解析】(1)将频率视作概率得到随机变量X的分布列如下:,则E(X)=15 +20 +25 +30 =22.25.,(2)小明以及同学每人所用时间不超过E(X)=22.25的 概率为 + = ,依题意YB ,因此Y的分布 列为:P(Y=k)= (k=0,1,2,3),E(Y)=3,(3)小明在一天中上学、放学所花的总时间不超过40分 钟为事件
23、A,包括以下情况:上学、放学都是15分钟;上 学、放学都是20分钟;上学15分钟,放学20分钟;上学 20分钟,放学15分钟;上学15分钟,放学25分钟;上学 25分钟,放学15分钟,共六种情况,P(A)=,2.(2018芜湖一模)某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70,7.52),数学成绩的频率分布直方图如下: 世纪金榜导学号,(1)计算这次考试的数学平均分,并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的). (2)如果成绩大于85分的学生为优秀,这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人?,(3)如果语文和数学两科都优秀的
24、共有4人,从(2)中的这些同学中随机抽取3人,设三人中两科都优秀的有X人,求X的分布列和数学期望. (附参考公式:若XN(,2),则P(-X +)0.68,P(-2X+2)0.96.),【解析】(1)数学成绩的平均分为(0.01245+0.02 55+0.02565+0.03575+0.00685+0.00295) 10=65.9, 根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分,所以语文平均分高些.,(2)语文成绩优秀的概率为p1=P(X85)=(1-0.96) =0.02, 数学成绩优秀的概率为p2= 10=0.05, 语文成绩优秀人数为2000.02=4(人),数学成绩优秀 人数为2000.
25、05=10(人).,(3)语文数学两科都优秀的有4人,单科优秀的有6人,X所有可能的取值为0,1,2,3,X的分布列为,数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = .,【加练备选】 1.(2016全国卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台
26、机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.,(1)求X的分布列. (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值. (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,【解析】(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11,记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4),记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4),由题知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2, P(A2)=P(B2)=0.4. 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为
27、X, 则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22, P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.20.2=0.04,P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) =0.20.4+0.40.2=0.16, P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.20.2+0.40.4+0.20.2=0.24, P(X=19),=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.20.2+0.40.2+0.20.4+0.20.2=0.24, P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)
28、+P(A4)P(B2)=0.40.2+0.20.2+0.20.4=0.2, P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3) =0.20.2+0.20.2=0.08, P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.20.2=0.04.,所以X的分布列为,(2)要令P(Xn)0.5, 因为0.04+0.16+0.240.5,0.04+0.16+0.24+0.240.5, 则n的最小值为19.,(3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时 购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的 费用,当n=19时,费用的期望为19200+5000.2+ 1 0000.08+1 5000.04=
29、4 040, 当n=20时,费用的期望为20200+5000.08+ 1 0000.04=4 080.所以应选用n=19.,2.(2018南充二模)在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为13,且成绩分布在40,100范围内,规定分数在80分以上(含80)的同学获奖,按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(如图).,(1)填写下面22列联表,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“获奖与学生的文理科有关”.,(2)将上述调查所得的频率视为概率,现从参赛学生中,任意抽取3名学生,记“获奖”学生人数为X,求X的分布列及数学期望.,附表及公式:K2= 其中n=a+b+c+d.,【解析】(1)22列联表如下:,由表中数据可得: k= 4.1673.841, 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“获奖与学生的文理科有关”.,(2)由表中数据可知,抽到获奖学生的概率为 , 将频率视为概率,所以X可取0,1,2,3且XB , P(X=k)= (k=0,1,2,3),期望E(X)=0,
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