1、1专题能力提升练 十六 不等式选讲(30分钟 60 分)1.设函数 f(x)=|2x-a|+5x,其中 a0.(1)当 a=3时,求不等式 f(x)5x+1 的解集.(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x0,所以不等式的解集为 .由题意得- =-1,解得 a=3.2.(2018全国卷)设函数 f = + .()(1)画出 y=f 的图象;()(2)当 x 时, f ax+b,求 a+b的最小值.()2【解析】(1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与 y轴交点的纵坐标为 2,且各部分所在直线斜率的最大值为 3,故当且仅当 a3 且 b2 时,f(x
2、)ax+b 在0,+)成立,因此 a+b的最小值为 5.【加固训练】(2018昆明模拟)已知函数 f(x)=ln(|2x+1|-|2x-3|).(1)求不等式 f(x)0 的解集.(2)当 m取何值时,f(x)ln 4.3.已知实数 x,y满足 x+y=1.(1)解关于 x的不等式|x-2|+|2x+y|5.(2)若 x,y0,证明: 9.(12-1)(12-1)【解析】方法一:(1)因为 x+y=1,所以|x-2|+|x+1|5,当 x2 时,原不等式化为 2x-15,解得 x3,所以 2x3;当-1x0,y0,所以 = (12-1)(12-1)(+)2-22 (+)2-22= =2+22
3、2+22 (2+22)(2+22)= + +5222 +5=9.当且仅当 x=y= 时,取“=”.12方法二:(1)同方法一;(2)因为 x+y=1,且 x0,y0,4所以 = (12-1)(12-1)= = =(1+)2 (1+)2= +1 +1=9,2当且仅当 x=y= 时,取“=”.12【加固训练】(2018内江一模)已知函数 f(x)=|3x-1|+|x-2|的最小值为 m.(1)求 m的值.(2)设实数 a,b满足 2a2+b2=m,证明:2a+b .【解析】(1)因为 f(x)=4-3,2,2+1,13|a|+|b|.【解析】(1)当 x- 时,12f(x)=-x+2x+1=x+1
4、.由 f(x)-1,所以-10,所以 2|ab|+1|a|+|b|.5.(2018南昌二模)已知函数 f(x)=-|x-a|+a,g(x)=|2x-1|+|2x+4|.(1)解不等式 g(x)- ,94即- 0时,因为函数 f(x)=|x-2|的图象经过点(2,0),函数 g(x)=a|x|-1的图象过点(0,-1),如图.要使|x-2|a|x|-1 恒成立,仅需 a ,即 a ,所以 00.(2)若关于 x的不等式 f(x)2a 2-5a的解集为 R,求实数 a的取值范围.【解析】(1)不等式 f(x)+x0可化为|x-1|+x|x+2|,当 x-(x+2),解得 x-3,即-3x+2,解得 xx+2,解得 x3,即 x3;综上所述,不等式 f(x)+x0的解集为-33.(2)由不等式 f(x)2a 2-5a可得|x-1|-|x+2|2a 2-5a.因为|x-1|-|x+2|x-1-x-2|=3,所以 2a2-5a3,即 2a2-5a-30,解得 a- 或 a3.12所以实数 a的取值范围是 3,+).
