1、1函数与导数问题感悟体验快易通1.已知函数 f(x)=x(ex+1),(1)求函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程.(2)若函数 g(x)=f(x)-aex-x,求函数 g(x)在1,2上的最大值.【解析】(1)因为 f(0)=0,故所求切线方程为 y=2x.(2)依题意,g(x)=(x-a+1)e x,令 g(x)=0 得 x=a-1,所以当 a-11 时,即 a2 时,x1,2时,g(x)0 恒成立,g(x)单调递增,所以 g(x)最大值为 g(2)=(2-a)e2;当 a-12 时,即 a3 时,x1,2时,g(x)0 恒成立,g(x)单调递减,所以 g(x)最大值为
2、g(1)=(1-a)e;当 10,g(x)单调递增.所以当 x1,2时,g(x)最大值为 g(1)或 g(2).g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e2,g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当 3a=时,2-1-12g(1)-g(2)0,g(x) max=g(1)=(1-a)e,当 22e.【解析】(1)f(x)=-,(x0),2当 a0 时,f(x)=,知 f(x)在(0, )上是递减的,在( ,+)上是递增的 .(2)由(1)知,a0,f(x) min=f( )=1-ln a,依题意 1-ln ae,由 a=e2得,f(x)= -2
3、ln x(x0),22x1(0,e),x 2(e,+),由 f(2e)=4-2ln 20 及 f(x2)=0 得,x 22e,只要 x12e-x2,3注意到 f(x)在(0,e)上是递减的,且 f(x1)=0,只要证明 f(2e-x2)0 即可,由 f(x2)= -2ln x2=0 得 =2e2ln x2,22所以 f(2e-x2)=-2ln(2e-x2)(2-2)22=-2ln(2e-x2)=-2ln(2e-x2)=4-+2ln x2-2ln(2e-x2),x2(e,2e),42令 g(t)=4-+2ln t-2ln(2e-t),t(e,2e),4则 g(t)=-+=0,知 g(t)在(e,2e)上是递增的,于22- 4(-)2(2-)是 g(t)g(e)=0,即 f(2e-x2)0,综上,x 1+x22e.
