1、解答题双规范案例之 概率与统计问题,【重在“辨析”】概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找 到模型,问题便迎刃而解.而概率模型的提取往往需要 经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程, 常常因题设条件理解不准,某个概念认识不清而误入歧,途.另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复合事件.,【思维流程】,【典例】(12分)(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果,决定是否
2、对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合 格品的概率都为p ,且各件产品是否为不合格品 相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f ,求 f 的最大值点p0.,(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);,以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,切入点:利用独立重复试验求解. 关键点:对f(p)进行求导,确定最大值点P
3、0,【标准答案】 【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p)= p2(1-p)18.2分 因此f(p)= 2p(1-p)18-18p2(1-p)17= 2 p(1-p)17(1-10p)(0p1). 3分 令f(p)=0,得p=0.1. 4分,当p(0,0.1)时,f(p)0; 当p(0.1,1)时,f(p)0. 5分 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. 6分 (2)由(1)知,p=0.1. 7分 令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意 知YB(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y.9分,所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490. 10分 如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检 验费为400元.由于E(X)400,故应该对余下的产品作检 验. 12分,【阅卷现场】 第(1)问踩点得分 写出式子f(p)= p2(1-p)18得2分. 正确求导得1分. 求出p=0.1正确得1分,错误不得分.,分析判断p(0,0.1)时, f(p)0;当p(0.1,1)时, f(p)0得1分. 确定p0=0.1得1分. 第(2)问踩点得分 写出p=0.1得1分.,求出X=40+25Y得2分. 求出期望值正确得1分,错误不得分. 得出结论“应该对余下的产品作检验”得2分,结论错误不得分.,
