1、1立体几何问题感悟体验快易通1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,ADP 是边长为 4 的等腰直角三角形,PC,PD 的中点分别为 E,F.(1)求证:EF平面 PAB.(2)求二面角 E-AD-B 的大小.【解析】(1)在PCD 中,因为 E,F 分别是 PC,PD 的中点,所以 EFCD,因为四边形 ABCD 为正方形,所以 ABCD,所以 EFAB.因为 AB平面 PAB,EF平面 PAB,所以 EF平面 PAB. (2)方法一:因为四边形 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,作 EG平面 ABCD 于 G,EHAD 于 H,连接 GH
2、,所以EHG 为二面角 E-AD-B 的平面角.因为ADP 是边长为 4 的等腰直角三角形,E,F 分别是 PC,PD 的中点,所以 GH=GE=2,所以GEH 是等腰直角三角形,EHG=45.故二面角 E-AD-B 的大小为 45.方法二:因为四边形 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,因为ADP 是边长为 4 的等腰直角三角形,所以 AP=AB=AD=4,所以 A(0,0,0),P(0,0,4),D(-4,0,0),E(-2,2,2),所以 =(-4,0,0), =(-2,2,2), =(0,0,4).2设平面 EAD 的法向量为 n=(x,y,z),则
3、所以即不妨令 z=-1,则 y=1,所以 n=(0,1,-1)为平面 EAD 的一个法向量,易知向量 =(0,0,4)为平面 ABD 的一个法向量,设二面角 E-AD-B 的大小为 ,所以 cos = = = = ,|(0,1,-1)(0,0,4)|12+(-1)2 42所以二面角 E-AD-B 的大小为 45.32.已知在如图所示的矩形 ABCD 中,AB= ,AD=4,E 为 AD 上靠近 D 的一个四等分点.现将BCE 以 BC 为旋转轴旋转到BCF,使平面 BCF平面 ABCD,设 G,H 分别为 AD,CF 的中点,如图所示.(1)求证:平面 BGF平面 CDF.(2)求平面 BGF
4、 与平面 DGH 夹角的余弦值.【解析】(1)在题图中,因为 AB= ,AD=4,E 为 AD 上靠近 D 的一个四等分点,所以 AE=3,DE=1,所以 BE=2 ,CE=2, 所以 BC2=BE2+CE2,得 BECE,所以在题图中,BFCF.又平面 BCF平面 ABCD,且平面 BCF平面 ABCD=BC,DCBC,所以 DC平面 BCF,所以DCBF.又 DCCF=C,所以 BF平面 DCF.又 BF平面 BGF,所以平面 BGF平面 CDF. (2)以 F 为坐标原点,FC,FB 所在直线分别为 x,y 轴,过点 F 且垂直于平面 BCF的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
5、则 F(0,0,0),B(0,2 ,0),G(1, , ),H(1,0,0),D(2,0, ),所以 =(0,2 ,0), =(1, , ), =(-1, ,0), =(-1,0,-).设 n1=(x1,y1,z1)为平面 BFG 的法向量,则4即 即 y1=0,令 z1=-1,则 x1= ,所以平面 BFG 的一个法向量为 n1=( ,0,-1). 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 DGH 的法向量,则 即令 x2= ,则 y2=1,z2=-1,所以平面 DGH 的一个法向量为 n2=( ,1,-1). 设 为平面 BFG 与平面 DGH 的夹角,则 cos =|12|1|2|= = .|33+01+(-1)(-1)|( 3)2+02+(-1)2( 3)2+12+(-1)2
