1、1第 4 讲 万有引力与航天真题再现 1(2018全国卷)为了探测引力波， “天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。 P 与 Q 的周期之比约为A21 B41C81 D161解析 由开普勒第三定律得 k，故 ，C 正确。r3T2 TPTQ (RPRQ)3 (164)3 81答案 C2(2016全国卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
2、A1 h B4 h C8 h D16 h解析 当一地球同步卫星的信号刚好覆盖赤道 120的圆周时，半径最小，周期最小，卫星的轨道半径 r 2 R；对同步卫星，分别有 m 26.6R 和Rcos 60 GMm(6.6R)2 (2T0) m 22R，即 2 3，解得 T4 h，选项 B 正确。GMm(2R)2 (2T) (TT0) (2R6.6R)答案 B3(2018全国卷)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253” ，其自转周期 T5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.671011 Nm2/kg2。以周期 T
3、 稳定自转的星体的密度最小值约为A510 9 kg/m3 B510 12 kg/m3C510 15 kg/m3 D510 18 kg/m3解析 毫秒脉冲星稳定自转时且密度最小是由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据 G m ， M R3，得 ，代入数据解得 510 15 MmR2 4 2RT2 43 3GT2kg/m3，C 正确。2答案 C考情分析分值 06 分题型 以选择题为主(1)天体质量和密度的估算(2)行星、卫星的运动问题(3)航天器的变轨问题命题热点(4)双星或多星问题考点一 天体质量和密度的计算1自力更生法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。由 G mg 得天
4、体质量 M 。MmR2 gR2G天体密度： 。MV M43 R3 3g4 GR2借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。(1)由 G m 得天体的质量为 M 。Mmr2 4 2rT2 4 2r3GT2(2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 。MV M43 R3 3 r3GT2R3(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期 T，就可估算出中心天体的密度。3GT2(多选) 宇航员抵达一半径为 R 的星球后，做了如下的实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为 m 的砝码，另一端
5、连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动。若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图 141 所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为 F。已知万有引力常量为 G，根据题中提供的条件和测量结果，可知图 1413A该星球表面的重力加速度为 F2mB该星球表面的重力加速度为 F6mC该星球的质量为 FR36GmD该星球的质量为 FR33Gm解析 设砝码在最高点的速率为 v1，受到的弹力为 F1，在最低点的速率为 v2，受到的弹力为 F2，则有F1 mg m ， F2 mg mv2
6、1R v2R砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：mg2R mv mv12 21 12 2拉力传感器读数差为 F F2 F16 mg故星球表面的重力加速度为 g ，A 错误，B 正确； F6m在星球表面附近有：G mg，则 M ，故 C 正确，D 错误。MmR2 FR26Gm答案 BC【题组突破】1(多选)(2018安阳二模)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是 G1；在南极附近测得该物体的重力为 G2；已知地球自转的周期为 T，引力常数为 G；假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知A地球的密度为3 G1GT2(G2 G1)B地球的密度为3 G2G
7、T2(G2 G1)C当地球的自转周期为 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2 G1G2D当地球的自转周期为 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2 G1G1 T答案 BC2土星最大的卫星叫“泰坦”(如图 142)，每 16 天绕土星一周，其公转轨道半径约为 1.2106 km。已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，则土星的质量约为4图 142A510 17 kg B510 26 kgC710 33 kg D410 36 kg解析 由万有引力定律有 F G m 2r，得土星的质量 M ，代入数据知Mmr2 (2T) 4 2r3GT2M510 26 kg，故
8、选项 B 正确。答案 B考点二 卫星运行参数的分析1熟记一个模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。2天体运动中常用的公式(1)运行天体的线速度： v (当 r R 时， v )；st GMr gR2r 1r gR(2)运行天体的角速度： (当 r R 时， )； t GMr3 gR2r3 1r3 gR(3)运行天体的周期： T 2 2 (当 r R 时， T2 )；2 r3GM r3gR2 r3 Rg(4)运行天体所在处的重力加速度： g ( )2g。GM(R h)2 RR h我国高分系列卫星的高分辨对地
9、观察能力不断提高。今年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是A周期 B角速度C线速度 D向心加速度解析 本题考查万有引力定律及其应用、宇宙航行。设地球质量为 M，卫星质量为m，轨道半径为 R，卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 G ，结合MmR2 mv2Rv R ， ， a ，解得 v ， ， T ， a ，可知2T v2R GMR GMR3 4 2R3GM GMR2v ， ， T a ，由题知 R 四 R 五 ，结合上面式
10、子得 v 五 v 四 ， 四 五 ，1R 1R R3 1R2a 五 a 四 ， T 五 T 四 ，故 B、C、D 三项均错，A 项正确。5答案 A【题组突破】1三种宇宙速度及其应用(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为 v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球2的质量比约为 101，半径比约为 21，下列说法正确的有A探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析 探测器在星球表面做匀速圆
11、周运动时，由 G m ，得 v ，则摆脱星球引MmR2 v2R GMR力时的发射速度 v ，与探测器的质量无关，选项 A 错误；设火星的质量为 M，半径22GMR为 R，则地球的质量为 10M，半径为 2R，地球对探测器的引力 F1 G ，比火星10Mm(2R)2 5GMm2R2对探测器的引力 F2 G 大，选项 B 正确；探测器脱离地球时的发射速度 v1 MmR2 2G10M2R，脱离火星时的发射速度 v2 ， v2 v1，选项 C 错误；探测器脱离星球的过程中10GMR 2GMR克服引力做功，势能逐渐增大，选项 D 正确。答案 BD2同步卫星的特点“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星
12、(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步轨道卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的 6 倍和 3.4 倍，下列说法中正确的是A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的 2 倍C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的 1/7D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的 1/7解析 根据万有引力提供向心力有 G mr ，解得卫星周期公式 T2 ，地球Mmr2 4 2T2 r3GM静止轨道卫星和中轨道卫星距地面的高度分别约为地球半径 6 倍和 3.4 倍，即轨道半径分别约为地球半径的 7 倍和 4.4 倍，
13、所以静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍，故 A6正确；由 G m 可得 v ，所以静止轨道卫星的线速度大小小于中轨道卫星的线速Mmr2 v2r GMr度大小，故 B 错误；由 G mr 2可得 ，由此可知，静止轨道卫星的角速度大小Mmr2 GMr3约为中轨道卫星的 0.5，故 C 错误；由 G ma 得 a ，所以静止轨道卫星的向心加速度Mmr2 GMr2大小约为中轨道卫星的 0.4，故 D 错误。答案 A考点三 卫星的变轨问题1变轨现象2卫星变轨过程中的能量变化卫星在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒；在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加，点火减速，做近心运动，轨
14、道降低，机械能减少。(多选)(2018 河南六市联考)2018 年我国即将发射“嫦娥四号”登月探测器，将首次造访月球背面，首次实现对地对月中继通信，若“嫦娥四号”从距月面高度为 100 km 的环月圆轨道上的 P 点实施变轨，进入近月点为 15 km 的椭圆轨道，由近月点 Q 落月，如图 143 所示。关于“嫦娥四号” ，下列说法正确的是图 143A沿轨道运动至 P 时，需制动减速才能进入轨道B沿轨道运行的周期大于沿轨道运行的周期C沿轨道运行时，在 P 点的加速度大于在 Q 点的加速度D在轨道上由 P 点运行到 Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变审题探究
15、7(1)什么条件下探测器做近心运动？(2)探测器运动的加速度是什么力产生的？如何计算加速度大小？(3)探测器从 P 点运动到 Q 点的过程中，引力方向与速度方向的夹角是大于 90还是小于 90？引力做正功还是负功？解析 嫦娥四号沿轨道运动到 P 点，若减速则有 G m ，则其将做近心运动，Mmr2 v2r进入轨道。故 A 正确；根据开普勒第三定律， k，嫦娥四号在轨道的半长轴小于a3T2轨道的半径，则其在轨道的周期小于轨道的周期，B 错误。根据 G ma，可知在 P 点的加速度小于 Q 点的加速度，C 错误；嫦娥四号在轨道上Mmr2由 P 点运行到 Q 点的过程中，引力做正功，则动能增加，重力
16、势能减小，机械能不变，故D 正确。答案 AD【题组突破】1卫星变轨的参数分析(2016北京卷)如图 144 所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动。下列说法正确的是图 144A不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的速度都相同B不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相同C卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度D卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同动量解析 从轨道 1 变轨到轨道 2，需要加速，故 A 错误；根据公式 G ma 可得MmR2a G ，故只要半径相同，加速度就相同，由于卫星在轨道 1
17、 做椭圆运动，运动半径在变MR2化，所以运动过程中的加速度在变化，B 正确，C 错误；卫星在轨道 2 做匀速圆周运动，运动过程中的速度方向时刻在变，所以动量方向不同，D 错误。答案 B2卫星变轨的能量分析(多选)按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标8和科学探测任务后，第二步“落月”工程，已在 2013 年以前完成。假设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g0，飞船沿距月球表面高度为 3R 的圆形轨道运动，到达轨道的A 点。点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点 B 再次点火进入月球近月轨道绕月球做圆周运动。下列判断正确的是图 145A飞船在轨道上的运行速率
18、vg0R2B飞船在 A 点处点火变轨时，动能增大C飞船在 A 点变轨完成后向 B 点运行的过程中机械能增大D飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间 T2Rg0解析 飞船在轨道上运动时，万有引力提供向心力，有 G m ，在月球表面，Mm(4R)2 v24R万有引力大小等于重力，则 G mg0，解得 v ，选项 A 正确；在较高的圆轨道变MmR2 g0R2轨到较低的椭圆轨道，需要在 A 点给飞船减速，减小飞船所需的向心力，故在 A 点处点火变轨时，飞船动能减小，选项 B 错误；飞船在 A 点变轨完成后，向近月点 B 运动过程中，只有月球引力做正功，飞船机械能不变，选项 C 错误；飞船在轨道上做圆周运动
19、，mg0 m ，解得 T2 ，选项 D 正确。4 2RT2 Rg0答案 AD归纳提升1变轨运动与机械能变化卫星速度增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足 G m ，致使卫星在较Mmr2 v2r高轨道上的运行速度小于在较低轨道上的运行速度，但机械能增大；相反，卫星由于速度减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速度大于在较高轨道上的运行速度，但机械能减小。2航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时轨道半径的变化，根据万有引力和所需向心
20、力的大小关系判断；稳定9在新轨道上的运行速度变化由 v 判断。GMr(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。考点四 双星与多星问题1双星系统模型有以下特点(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 m1 r1， m2Gm1m2L2 21 Gm1m2L2r2。2(2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1 T2， 1 2。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为： r1 r2 L。2多星问题的处理方法(1)各星运动的周期相同、角速度相同。(2)每个星受其他星的合力提供该星运动的向心
21、力。在天体运动中，将两颗彼此相距较近的恒星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为 M1和 M2，试计算：(1)各星的轨道半径；(2)各星的线速度。审题探究(1)两颗星做圆周运动的向心力由什么力提供？大小是多少？(2)两颗星和圆心的位置有什么关系，才能保证它们所受外力的方向指向圆心？解析 (1)如图，对质量为 M1的星球，由向心力公式可得：F1 G M1 2R1M1M2L2同理对质量为 M2的星球有：F2 G M2 2R2M1M2L2两式联立得： (即轨道半径与质量成反比)R1R2 M2M110又因为 L R1 R2
22、所以 R1 L， R2 L，M2M1 M2 M1M1 M2 1LG(M1 M2)L(2)因为 v r ，所以 v1 L M21LG(M1 M2)L M2M1 M2 GL(M1 M2)v2 L M1 。1LG(M1 M2)L M1M1 M2 GL(M1 M2)答案 (1) L LM2M1 M2 M1M1 M2(2)M2 M1GL(M1 M2) GL(M1 M2)【题组突破】1.(三星系统)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图146 所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀
23、速圆周运动，引力常量为 G，下列说法正确的是图 146A每颗星做圆周运动的角速度为 3GmL3B每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C若距离 L 和每颗星的质量 m 都变为原来的 2 倍，则周期变为原来的 2 倍D若距离 L 和每颗星的质量 m 都变为原来的 2 倍，则线速度变为原来的 4 倍解析 任意两星间的万有引力 F G ，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关m2L2系和牛顿第二定律可得： F ma m 2 ，联立可得： ， a 2 ，选3L3 3GmL3 L3 3GmL2项 A、B 错误；由周期公式可得： T 2 ，当 L 和 m 都变为原来的 2 倍，则周2 L33Gm期 T
24、2 T，选项 C 正确；由速度公式可得： v ，当 L 和 m 都变为原来的 2 倍，L3 GmL则线速度 v v，选项 D 错误。11答案 C2(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行，如图 147 甲所示；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设这三个星体的质量均为 M，并设两种系统的运动周期相同，则图 147A直线三星系统运动的线速度大小为 v
25、GMRB直线三星系统的运动周期为 T4 RR5GMC三角形三星系统中星体间的距离为 L R3125D三角形三星系统运动的线速度大小为 v 12 5GMR解析 对直线三星系统中的其中一颗环绕星，有 G G M ，解得 v ，M2R2 M2(2R)2 v2R 125GMR选项 A 错误；根据 T ，可得选项 B 正确；对三角形三星系统中的任意一颗星体，有2 Rv2G cos 30 M( )( )2，三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期M2L2 L2cos 302TT4 R ，联立解得 L R，选项 C 正确；根据 T ，若按照 r R 计算，就会R5GM 3125 2 rv得到 v ，但 r R，故选项 D 错误。125GMR L2cos 30答案 BC
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