2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十八圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练理20190220394.doc

1、1课时跟踪检测（十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A 卷大题保分练1(2018长春模拟)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)， F2(1,0)，且经过 E.(3，32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 ，AF1 F1B 且 2 0)，联立方程Error!整理得 y2 y90， 1440，(3k2 4) 6k 144k2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，6k3 4k2 9k23 4k2又 ，所以 y1 y 2，所以 y1y2 (y1 y2)2，A

2、F1 F1B 1 2则 ， 2 ， 1 2 43 4k2 1 43 4k2因为 2 0，解得 0b0)的左、右焦点分别为 F1和 F2，由x2a2 y2b2M( a， b)， N(a， b)， F2和 F1这 4 个点构成了一个高为 ，面积为 3 的等腰梯形3 3(1)求椭圆的方程；(2)过点 F1的直线和椭圆交于 A， B 两点，求 F2AB 面积的最大值解：(1)由已知条件，得 b ，且 3 ，32a 2c2 3 3 a c3.又 a2 c23， a2， c1，椭圆的方程为 1.x24 y232(2)显然直线的斜率不能为 0，设直线的方程为 x my1， A(x1， y1)， B(x2，

3、y2)联立方程Error!消去 x 得，(3 m24) y26 my90.直线过椭圆内的点，无论 m 为何值，直线和椭圆总相交 y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4 S F2AB |F1F2|y1 y2| y1 y2|12 12 y1 y2 2 4y1y2m2 1 3m2 4 24 4 ，m2 1(m2 1 13)21m2 1 23 19 m2 1令 t m211，设 f(t) t ，易知 t 时，函数 f(t)单调递减， t19t (0， 13)时，函数 f(t)单调递增，(13， )当 t m211，即 m0 时， f(t)取得最小值， f(t)min ，此时 S F2

4、AB 取得最109大值 3.3(2018郑州模拟)已知圆 C： x2 y22 x2 y10 和抛物线 E： y22 px(p0)，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 .17(1)求抛物线 E 的方程；(2)不过原点 O 的动直线 l 交抛物线于 A， B 两点，且满足 OA OB，设点 M 为圆 C 上一动点，求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 的方程解：(1) x2 y22 x2 y10 可化为( x1) 2( y1) 21，则圆心 C 的坐标为(1,1) F ，| CF| ，(p2， 0) (p2 1)2 0 1 2 17解得 p6.抛物线 E 的方程为 y212 x.(2

5、)显然直线 l 的斜率非零，设直线 l 的方程为 x my t(t0)， A(x1， y1)，B(x2， y2)由Error! 得 y212 my12 t0， (12 m)248 t48(3 m2 t)0， y1 y212 m， y1y212 t，3由 OA OB，得 0， x1x2 y1y20，OA OB 即( m21) y1y2 mt(y1 y2) t20，整理可得 t212 t0， t0， t12，满足 0，符合题意直线 l 的方程为 x my12，故直线 l 过定点 P(12,0)当 CP l，即线段 MP 经过圆心 C(1,1)时，动点 M 到动直线 l 的距离取得最大值，此时 kC

6、P ，得 m ，1 0 1 12 113 113此时直线 l 的方程为 x y12，即 13x y1560.1134(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A， B 两点，线x24 y23段 AB 的中点为 M(1， m)(m0)(1)证明： kb0 且 a， b2均为整数)过点 ，x2a2 y2b2 (2， 62)且右顶点到直线 l： x4 的距离为 2.(1)求椭圆 的方程；(2)过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2， l1与椭圆 交于点 A， B， l2与椭圆 交于点 C， D.求四边形 ACBD 面积的最小值解：(1)由题意，得 1，且|

7、4 a|2，若 a2，则 b23；若 a6，则 b22a2 32b2(舍去)，所以椭圆 的方程为 1.2717 x24 y23(2)由(1)知，点 F 的坐标为(1,0)当 l1， l2中有一条直线的斜率不存在时，可得| AB|4，| CD|3 或者|AB|3，| CD|4，此时四边形 ACBD 的面积 S 436.125当 l1， l2的斜率均存在时，设直线 l1的斜率为 k，则 k0，且直线 l2的斜率为 .1k直线 l1： y k(x1)， l2： y (x1)1k联立Error! 得(34 k2)x28 k2x4 k2120.由直线 l1过椭圆内的点，知 0 恒成立，设 A(x1， y

8、1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， x1x2 .8k23 4k2 4k2 123 4k2|AB| |x1 x2| 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 .(8k23 4k2)2 44k2 123 4k2 12 k2 13 4k2以 代替 k，得| CD| .1k 12 k2 14 3k2所以四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD|12 ，72 k2 1 2 3 4k2 4 3k2 72 k2 1 2 3 4k2 4 3k22 2 72 k2 1 27 k2 12 2 28849当且仅当 k21，即 k1 时等号成立由于 b0)，定义椭圆 C 的“相关圆”方程为

9、 x2 y2 .x2a2 y2b2 a2b2a2 b2若抛物线 y24 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆 C 的方程和“相关圆” E 的方程；(2)过“相关圆” E 上任意一点 P 作“相关圆” E 的切线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， O为坐标原点证明： AOB 为定值解：(1)因为抛物线 y24 x 的焦点(1,0)与椭圆 C 的一个焦点重合，所以 c1.又椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 b c1，故椭圆 C 的方程为 y21，x22“相关圆” E 的方程为 x2 y2 .23(2)证

10、明：当直线 l 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 的方程为 x ， A ， B63 (63， 63)，则 AOB .(63， 63) 26当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 得 x22( kx m)22，即(12 k2)x24 kmx2 m220， 16 k2m24(12 k2)(2m22)8(2 k2 m21)0，即 2k2 m210，Error!因为直线 l 与“相关圆” E 相切，所以 ，|m|1 k2 m21 k2 23即 3m222 k2，所以 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m

11、2 m2 1 k2 2m2 21 2k2 4k2m21 2k2 0，3m2 2k2 21 2k2所以 ，所以 AOB .OA OB 2综上， AOB ，为定值 23已知椭圆 C1： 1( ab1)的离心率为 ，其右焦点到直线x2a2 y2b2 222ax by 0 的距离为 .223(1)求椭圆 C1的方程；(2)过点 P 的直线 l 交椭圆 C1于 A， B 两点证明：以 AB 为直径的圆恒过定(0， 13)点解：(1)由题意， e ， e2 ， a22 b2.ca 22 a2 b2a2 12所以 a b， c b.2又 ， ab1，所以 b1， a22，|2ac 2|4a2 b2 23故椭

12、圆 C1的方程为 y21.x22(2)证明：当 AB x 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2 y21.当 AB y 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2 2 ，(y13) 169由Error! 可得Error!由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(0,1)下证 Q(0,1)符合题意当 AB 不垂直于坐标轴时，设直线 AB 方程为 y kx ， A(x1， y1)， B(x2， y2)137由Error! 得(12 k2)x2 kx 0，43 169由根与系数的关系得， x1 x2 ，4k3 1 2k2x1x2 ，169 1 2k2 ( x1， y11)( x2，

13、 y21)QA QB x1x2( y11)( y21) x1x2 (kx143)(kx2 43)(1 k2)x1x2 k(x1 x2)43 169(1 k2) k 169 1 2k2 43 4k3 1 2k2 169 16 16k2 16k2 16 1 2k29 1 2k20，故 ，即 Q(0,1)在以 AB 为直径的圆上QA QB 综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0,1)4(2018沈阳模拟)已知椭圆 1( ab0)的左，右焦点分别为 F1， F2，且x2a2 y2b2|F1F2|6，直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点(1)若 AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；(2)若

14、 k ，且 A， B， F1， F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值；24(3)在(2)的条件下，设 P(x0， y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1(2，1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围解：(1)由题意得 c3，根据 2a2 c16，得 a5.结合 a2 b2 c2，解得a225， b216.所以椭圆的方程为 1.x225 y216(2)由Error! 得 x2 a2b20.(b218a2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以 x1 x20， x1x2 ， a2b2b2 18a2由 AB， F1F2互相平分且共圆，易知， AF2 BF2，8因为 ( x13，

15、 y1)， ( x23， y2)，F2A F2B 所以 ( x13)( x23) y1y2F2A F2B x1x290.(118)即 x1x28，所以有 8， a2b2b2 18a2结合 b29 a2，解得 a212，所以离心率 e .32(3)由(2)的结论知，椭圆方程为 1，x212 y23由题可知 A(x1， y1)， B( x1， y1)， k1 ， k2 ，y0 y1x0 x1 y0 y1x0 x1所以 k1k2 ，y20 y21x20 x21又 ，y20 y21x20 x21 3(1 x2012) 3(1 x2112)x20 x21 14即 k2 ，14k1由2 k11 可知， k2 .18 14即直线 PB 的斜率 k2 .(18， 14)