1、111.3 二项分布与正态分布挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个相互独立事件的概念,理解 n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题2012 天津,16两个相互独立事件的概率的求法互斥事件的概率公式、期望2.正态分布及其应用利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2017 课标,19正态分布的应用数学期望 分析解读 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件概率的求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布
2、与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率为近几年高考的热点.本节在高考中难度为易或中等.破考点【考点集训】考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布1.随机变量 B(n,p),且 E=300,D=200,则 等于( )npA.3200 B.2700 C.1350 D.1200答案 B 2.(2014 课标,5,5 分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45答案 A 23.某篮球队甲、乙两名球员在一个赛季中前
3、 10 场比赛中投篮命中情况统计如下表 注:表中分数 ,N 表示投篮次数,n 表示命中次数 ,假设各场比赛相互独立.nN场次球员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 513 412 1430 59 1419 1016 1223 48 613 1019乙 1326 918 914 816 615 1014 721 916 1022 1220根据统计表的信息:(1)从上述比赛中等可能随机选择一场,分别求甲、乙球员在该场比赛中投篮命中率大于 50%的概率;(2)试估计甲、乙两名球员在第 11 场比赛中恰有一人的命中率大于 50%的概率;(3)在接下来的 3 场比赛中,用 X 表示这 3 场比
4、赛中乙球员的命中率大于 50%的场数,试写出X 的分布列,并求 X 的数学期望.解析 (1)根据投篮统计数据知,在 10 场比赛中,甲球员的投篮命中率大于 50%的场次有 5场,所以在随机选择的一场比赛中,甲球员的投篮命中率大于 50%的概率是 .在 10 场比赛中,乙12球员的投篮命中率大于 50%的场次有 4 场,所以在随机选择的一场比赛中,乙球员的投篮命中率大于 50%的概率是 .25(2)设在一场比赛中,甲、乙两名球员恰有一人命中率大于 50%为事件 A,甲球员的命中率大于 50%且乙球员的命中率不大于 50%为事件 B1,乙球员的命中率大于 50%且甲球员的命中率不大于 50%为事件
5、 B2,则 P(A)=P(B1)+P(B2)= + = .12 3512 2512(3)X 的可能取值为 0,1,2,3.P(X=0)= = ;C03(25)0(35)327125P(X=1)= = ;C13(25)1(35)254125P(X=2)= = ;C23(25)2(35)1361253P(X=3)= = .C33(25)3 8125X 的分布列如下表:X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125所以 EX=3 = .2565思路分析 (1)利用原始数据找到符合要求的场次,从而求出概率;(2)把“恰有一人命中率大于 50%”分解为互斥事件的和,求概率;(3)利用
6、(1)中的概率,结合 3 次独立重复试验和二项分布求分布列和数学期望.考点二 正态分布及其应用4.已知随机变量 服从正态分布 N(0, 2).若 P(2)=0.023,则 P(-22)=( )A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977答案 C 5.设 XN( 1, ),YN( 2, ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 21 22( )A.P(Y 2)P(Y 1)B.P(X 2)P(X 1) C.对任意正数 t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数 t,P(Xt)P(Yt)答案 C 炼技法【方法集训】方法 1 独立重复试验及二项分布问题的求解方法1.(201
7、7 课标,13,5 分)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则 DX= . 4答案 1.962.(2015 广东,13,5 分)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n,p).若 E(X)=30,D(X)=20,则 p= .答案 13方法 2 正态分布及其应用方法3.某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即 XN(100,a2)(a0),试卷满分为 150 分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 分)的人数占总人数的 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分
8、(包含 100 分和 110 分)之间的110人数约为( )A.400 B.500 C.600 D.800答案 A 4.高三某班有 50 名学生,一次数学考试的成绩 服从正态分布 N(105,102),已知P(95105)=0.3413,该班学生此次考试数学成绩在 115 分以上的概率为( )A.0.1587 B.0.3413 C.0.1826 D.0.5000答案 A 过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组(2012 天津,16,13 分)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出
9、点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率;(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 =|X-Y|,求随机变量 的分布列与数学期望 E.解析 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .13 23设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai)= .Ci4(13)i(23)4-i(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(
10、A2)= = .C24 (13)2(23)28275(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3A 4.由于 A3与 A4互斥,故 P(B)=P(A3)+P(A4)= + = .C34(13)3(23)C44(13)419所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 .19(3) 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1与 A3互斥,A 0与 A4互斥,故 P(=0)=P(A 2)= ,827P(=2)=P(A 1)+P(A3)= ,4081P(=4)=P(A 0)+P(A4)= .1781所以 的分布列是 0 2 4P 8
11、27 4081 1781随机变量 的数学期望 E=0 +2 +4 = .827 4081 178114881B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2018 课标,8,5 分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=( )A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3答案 B 2.(2015 课标,4,5 分)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投
12、中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案 A 考点二 正态分布及其应用1.(2015 山东,8,5 分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )6(附:若随机变量 服从正态分布 N(, 2),则 P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%答案 B 2.(2015 湖北,4,5 分)设 XN( 1, ),YN( 2, ),这两个正态分布密度曲线如图所示. 21 22
13、下列结论中正确的是( )A.P(Y 2)P(Y 1)B.P(X 2)P(X 1) C.对任意正数 t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数 t,P(Xt)P(Yt)答案 C 3.(2015 湖南,7,5 分)在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附:若 XN(, 2),则 P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.4772答案 C C 组 教师专用题组(2017 课标,19,12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该
14、生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(, 2).(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求 P(X1)及 X 的数学期望;7(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9
15、.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 = xi=9.97,s= = 0.212,其中 xi为抽x11616i=1 11616i=1(xi-x)2 116(16i=1x2i-16x2)取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,16.用样本平均数 作为 的估计值 ,用样本标准差 s 作为 的估计值 ,利用估计值判断是x 否需对当天的生产过程进行检查.剔除( -3 , +3 )之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01).附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(, 2),则 P(-3Z+3)=0.9974.0.9974
16、160.9592, 0.09.0.008解析 本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为 0.9974,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为 0.0026,故 XB(16,0.0026).因此 P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974 160.0408.X 的数学期望为 EX=160.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有 0.0026,一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有 0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种
17、情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由 =9.97,s0.212,得 的估计值为 =9.97, 的估计值为 =0.212,由样本数据可x 以看出有一个零件的尺寸在( -3 , +3 )之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除( -3 , +3 )之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为 (169.97-9.22)=10.02,因此 的估计值为 10.02.115=160.2122+169.9721591.134,16i=1x2i8剔除( -3 , +3 )之外的数据 9.22,剩下数据的样
18、本方差为 (1591.134-9.222-1510.022)0.008,115因此 的估计值为 0.09.0.008方法总结 统计与概率的综合应用.(1)正态分布:若变量 X 服从正态分布 N(, 2),其中 为样本的均值,正态分布曲线的对称轴为 x=; 为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.(2)二项分布:若变量 XB(n,p),则 X 的期望 EX=np,方差 DX=np(1-p).【三年模拟】解答题(共 60 分)1.(2018 天津河北二模,16)某地拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘
19、请专家设计了一个招标方案:两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题,已知这 6 个问题中,甲公司可正确回答其中的 4 道题,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ,且甲、23乙两家公司是否答对相互独立,互不影响.(1)求甲、乙两家公司共答对 2 道题的概率;(2)设 X 为乙公司正确回答的题数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.解析 (1)由题意可知甲公司至少能答对 1 题.甲、乙公司各答对 1 题的概率为 = ,C14C22C36 C13(13)2 23245甲公司答对 2 题,乙公司全答错的概率为 = ,C24C12C36 (13)3145甲、乙两家公司共答对 2 道题的概率为
20、+ = .245145115(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,且 XB ,(3,23)P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,(13)3127 C13(13)2 2329P(X=2)= = ,C23(23)2 1349P(X=3)= = .(23)3827X 的分布列为X 0 1 2 39P 127 29 49 827EX=1 +2 +3 =2.29 49 827(或 EX=323=2)2.(2018 天津南开三模,16)某综艺节目中,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老
21、师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为 ,且三人投票互不影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目获一等奖;13否则,该节目不能获一等奖.(1)求某节目获一等奖的概率;(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和 X 的分布列及数学期望.解析 (1)设“某节目的投票结果获一等奖”为事件 A,则事件 A 包含该节目可以获 2 张“获奖”票或 3 张“获奖”票,某节目获一等奖的概率P(A)= + = .C23(13)2 23C33(13)3727(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 XB .(3,23)P(X=0)
22、= = ,P(X=1)= = ,C03(13)3127 C13 23 (13)229P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,C23(23)2 1349 C33(23)3827X 的分布列为X 0 1 2 3P 127 29 49 827EX=1 +2 +3 =2.29 49 827(或 EX=323=2)3.(2019 届天津一中 1 月月考,16)甲、乙、丙三个口袋内都分别装有 6 个只有颜色不相同的球,并且每个口袋内的 6 个球均有 1 个红球,2 个黑球,3 个无色透明的球,现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出 1 个球.(1)求恰好摸出红球、黑球和无色球各 1 个的概率;(2)求
23、摸出的 3 个球中含有有色球数 的概率分布列和数学期望.10解析 由于各个口袋中球的情况一样,而且从每一个口袋中摸出红球、黑球、无色球的概率分别为 , , ,所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得161312(1)P= = .A3316 13 1216(2) 的所有可能取值为 0,1,2,3,所以 P(=0)= = ,P(=1)= = ,P(=2)= = ,P(=3)=(12)318 C13(16+13) (12)238 C23(16+13)2 1238= .C33(16+13)318所以 的分布列为 0 1 2 3P 18 38 38 18E=0 +1 +2 +3 = .18 38 38
24、 18324.(2019 届天津耀华中学第一次月考,16)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立.23 13(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望).解析 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,A k表示“第 k 局甲获胜”,B k表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5.23 13(1)P(A)=P(A1A2)+P
25、(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)= + + = .(23)213 (23)223 13 (23)25681(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= ,59P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= ,2911P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= ,1081P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .881故 X 的分布列为X 2 3 4 5P 59 29 1081 881EX=2 +3 +4 +5 = .59 29 1081 88122481
