1、13.2 导数与函数单调性A组 基础题组1.函数 y=4x2+ 的单调递增区间为( )1xA.(0,+) B.(12,+ )C.(-,-1) D.(-, -12)答案 B 由 y=4x2+ 得 y=8x- ,令 y0,即 8x- 0,解得 x ,函数 y=4x2+ 在 上单调递增.1x 1x2 1x2 12 1x (12,+ )故选 B.2.已知 m是实数,函数 f(x)=x2(x-m),若 f (-1)=-1,则函数 f(x)的单调增区间是( )A. B.(-43,0) (0,43)C. ,(0,+) D. (0,+)(-, -43) (-, -43)答案 C 由题意得 f (x)=3x2-
2、2mx,f (-1)=3+2m=-1,解得 m=-2,f (x)=3x 2+4x,令 f (x)0,解得 x0,43故 f(x)的单调增区间为 ,(0,+).(-, -43)3.已知函数 f(x)=x2+2cos x,若 f (x)是 f(x)的导函数,则函数 f (x)的图象大致是( )答案 A 令 g(x)=f (x)=2x-2sin x,则 g(x)=2-2cos x,易知 g(x)0,所以函数 f (x)在 R上单调递增.4.若幂函数 f(x)的图象过点 ,则函数 g(x)=exf(x)的单调递减区间为( )(22,12)A.(-,0) B.(-,-2)C.(-2,-1) D.(-2,
3、0)2答案 D 设幂函数 f(x)=x ,因为图象过点 ,所以 = ,=2,所以 f(x)=x2,故 g(x)=exx2,则(22,12) 12(22)g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令 g(x)- 时,1xa(x+1a)x 1af (x)0,所以 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .1a (0,-1a) (-1a,+ )7.若 f(x)=xsin x+cos x,则 f(-3), f , f(2)的大小关系是 . (2)答案 f(-3)f(2)f(3)=f(-3).(2)8.已知函数 f(x)= x2+2ax-ln x,若 f(x)在区间 上是增函数,则实数 a的
4、取值范围是 . 12 13,2答案 43,+ )解析 由题意得 f (x)=x+2a- 0 在 上恒成立,即 2a-x+ 在 上恒成立,1x 13,2 1x 13,2 = ,2a ,即 a .(-x+1x)max83 83 439.已知函数 f(x)=ln x+ x2-(a+1)x.若曲线 y=f(x)在 x=1处的切线方程为 y=-2,求 f(x)的单调区间.a23解析 由已知得 f (x)= +ax-(a+1),则 f (1)=0.1x而 f(1)=ln 1+ -(a+1)=- -1,a2 a2曲线 y=f(x)在 x=1处的切线方程为 y=- -1.a2- -1=-2,解得 a=2.a2
5、f(x)=ln x+x 2-3x, f (x)= +2x-3.1x由 f (x)= +2x-3= 0,得 01,1x 2x2-3x+1x 12由 f (x)= +2x-30,故 g(x)在(-4,-1)上为增函数;当-10时,g(x)0,故 g(x)在(0,+)上为增函数.综上,g(x)在(-,-4)和(-1,0)上为减函数,在(-4,-1)和(0,+)上为增函数.11.已知函数 f(x)=x2+aln x.4(1)当 a=-2时,求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若函数 g(x)=f(x)+ 在1,+)上单调,求实数 a的取值范围.2x解析 (1)由题意知,函数的定义域为 (0,+),当
6、 a=-2时, f (x)=2x- = ,2x2(x+1)(x-1)x由 f (x)(x-1)f(x2-1)的解集是( )A.(0,1) B.(1,+)C.(1,2) D.(2,+)答案 D 因为 f(x)+xf (x)(x-1)f(x2-1),所以(x+1)f(x+1)(x 2-1)f(x2-1),所以 02.2.若定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)+f (x)1, f(0)=4,则不等式 f(x) +1(e为自然对数的底数)的3ex解集为( )A.(0,+) B.(-,0)(3,+)C.(-,0)(0,+) D.(3,+)答案 A 由 f(x) +1,得 exf(x)3+ex,3e
7、x5构造函数 F(x)=exf(x)-ex-3,得 F (x)=exf(x)+exf (x)-ex=exf(x)+f (x)-1,由 f(x)+f (x)1,ex0,可知 F (x)0,所以 F(x)在 R上单调递增,又因为 F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0,所以 F(x)0的解集为(0,+),即 f(x) +1的解集为(0,+).3ex3.已知函数 f(x)=a(x-ln x)+ (aR),讨论 f(x)的单调性.2x-1x2解析 易知 f(x)的定义域为 (0,+),f (x)=a- - + = .ax2x22x3(ax2-2)(x-1)x3当 a0 时,若 x(0,1),则 f (x)0, f(x)单调递增,若 x(1,+),则 f (x)0时, f (x)= ,a(x-1)x3 (x- 2a)(x+ 2a)当 01,2a当 x(0,1)或 x 时, f (x)0, f(x)单调递增,(2a,+ )当 x 时, f (x)2时,00, f(x)单调递增,当 x 时, f 2a (0, 2a) ( 2a,1)(x)2时, f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,在(1,+)上单调递增.(0,2a) ( 2a,1)
