1、1第一节 变化率与导数、导数的计算A组 基础题组1.记函数f(x)的导数为f (x),若f(x)对应的曲线在点(x 0,f(x0)处的切线方程为y=-x+1,则( )A.f (x0)=2 B.f (x0)=1 C.f (x0)=0 D.f (x0)=-1答案 D 由函数在某一点处的导数的几何意义知f (x 0)=-1.2.已知函数f(x)= cos x,则f ()+f =( )( 2)A.- B.- C.- D.-3 2 1 2 3 1答案 C f(x)= cos x,f (x)=- cos x+(-sin x),f()+f =-12 ( 2)+ (-1)=- .1 2 33.曲线y=xe x
2、+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为( )A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-3x+1答案 A 由题意得y=(x+1)e x+2,则曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e 0+2=3,故曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.4.已知f(x)=x(2 016+ln x),若f (x 0)=2 017,则x 0等于( )A.e2 B.1 C.ln 2 D.e答案 B f (x)=2 016+ln x+x=2 017+ln x,由f (x 0)=2 017,得2 017+ln x 0=2
3、 017,则ln x 0=0,解得x 0=1.5.若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a= ( )A. B.2 C. D.2e-12 e-12 e12 e122答案 B 依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x 0,对于y=2ln x+1,易知y=,则有y = ,于是有 解得x 0= ,a=2 ,选B.|=020 =20,0=2ln 0+1, e e-126.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=( )A.-1 B.0 C.2 D.4答案
4、B 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,f (3)=-.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf (x),g(3)=f(3)+3f (3),又由题图可知f(3)=1,g(3)=1+3 =0.(-13)7.已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为 . 答案 1解析 由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.8.已知函数f(x)=e x-mx+
5、1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为 . 3答案 (1e,+ )解析 函数f(x)=e x-mx+1的导函数为f (x)=e x-m,要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需e x-m=-有解,即m=e x+有解,由e x0,得m,则实数m的取值范围为 .(1e,+ )9.已知函数f(x)= x 3-2x2+3x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.解析 (1)由题意得f (x)=x 2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以过曲
6、线C上任意一点的切线斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,k-1,-1k-1,解得-1k0)和g(x)=ln x的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.(1)若点P的坐标为 ,求a,b的值;(1e,-1)(2)若a=b,求切点P的坐标.解析 f (x)=2ax-b,g(x)=.4(1)由题意得f = -=-1, (1e) ae2且f =g ,即 -b=e, (1e) (1e) 2ae由得a=2e 2,b=3e.(2)若a=b,则f (x)=2ax-a,设切点P的坐标为(s,t),其中s0,由题意得as 2-as=ln s,
7、2as-a=, 由得a= ,其中s,1s(2s-1)代入得 =ln s. s-12s-1因为a= 0,且s0,所以s.1s(2s-1)设函数F(x)= -ln x,x ,x-12x-1 (12,+ )则F(x)= .-(4x-1)(x-1)x(2x-1)2令F(x)=0,解得x=1或x= (舍).当x变化时,F(x)与F(x)的变化情况如下表所示:x (12,1)1 (1,+)F(x) + 0 -F(x) 极大值 5所以当x=1时,F(x)取得最大值,为F(1)=0,所以方程有且仅有一个解s=1.于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).B组 提升题组11.函数f(x)= 的图象在点
8、(1,-2)处的切线方程为( )lnx-2xxA.2x-y-4=0 B.2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x+y+1=0答案 C f (x)= ,则f (1)=1,故函数f(x)的图象在点(1,-1-lnxx22)处的切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.12.已知函数f(x)=e x-2ax,g(x) =-x3-ax2.若不存在x 1,x2R,使得f (x1)=g(x2),则实数a的取值范围为( )A.(-2,3) B.(-6,0) C.-2,3 D.-6,0答案 D 依题意知函数f (x)与g(x)值域的交集为空集,f (x)=e x-2a-2a,g(x)=-3x2-2ax
9、 , -2a,解得-6a0.a23 a2313.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C 依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+b,故b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,因此a+b=1,选C.14.曲线y=aln x(a0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a= . 答案 86解析 令f(x)=y=aln x,则f (x)=,在x=1处的切线的斜率为a,f(1)=al
10、n 1=0,故切点为(1,0),切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a,a0,所围成的三角形的面积为a1=4,a=8.15.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解析 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=,又f (x)=a+ ,即有a+=,解得a=1,b=3.2故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f (x)=1+ ,则曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为y-y0= (x-x0),即y- =32 (1+320) (0-30)(x-x0).(1+320)令x=0,得y=- ,从而得切线与直线x=0的交点坐标为 .60 (0,-60)令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为 |2x|-60|0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.7
