1、1第四节 二次函数与幂函数A 组 基础题组1.已知幂函数 f(x)=kx 的图象过点 ,则 k+=( )(12,22)A. B.1 C. D.2答案 C 由幂函数的定义知 k=1.又 f = ,所以 = ,解得 =,所以 k+=.(12) 22 (12)222.已知 f(x)=ax2-x-c,若 f(x)0 的解集为(-2,1),则函数 y=f(-x)的大致图象是( )答案 C 由 f(x)0 的解集为(-2,1),可知函数 y=f(x)的大致图象为选项 D 中的图象,又函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称,故选 C.3.“m=1”是“函数 f(x)=x2-6mx+6 在
2、区间(-,3上为减函数”的( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 若 m=1,则 f(x)=x2-6x+6,易知 f(x)在区间(-,3上为单调递减函数,即“m=1”是“函数 f(x)=x2-6mx+6 在区间(-,3上为减函数”的充分条件;反过来,若函数 f(x)=x2-6mx+6 在区间(-,3上为减函数,则33m,即 m1,所以“m=1”不是“函数 f(x)=x2-6mx+6 在区间(-,3上为减函数”的必要条件.综上所述,“m=1”是“函数 f(x)=x2-6mx+6 在区间(-,3上为减函数”的充分而不必要条件,故选 B.4
3、.若函数 y=x2-3x-4 的定义域为0,m,值域为 ,则 m 的取值范围是( )-254,-4A.(0,4 B. C. D.4,254 32,3 32,+ )答案 C 函数 y=x2-3x-4= - 的图象如图.(-32)22542令 y=x2-3x-4=-4,解得 x=0 或 x=3.为了保证函数的值域为 ,则m3,故选 C.-254,-45.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),且当 x0,1时, f(x)=x 2-x,则当 x-2,-1时, f(x)的最小值为( )A.- B.- C.- D.0116答案 A 当 x-2,-1时,x+20,1,则 f(x+2)
4、=(x+2)2-(x+2)=x2+3x+2,又 f(x+2)=f(x+1)+1)=2f(x+1)=4f(x),f(x)= (x 2+3x+2)= - ,当 x=-时, f(x)取得最小值- .14(+32)2116 1166.(2016 北京东城期末)已知函数 f(x)=a-x2(1x2)与 g(x)=x+1 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a的取值范围是 ( )A. B.1,2 C. D.-1,1-54,+ ) -54,1答案 D 设(x,x+1)为函数 g(x)=x+1 的图象上的点,则(x,-x-1)为函数 f(x)=a-x2(1x2)的图象上的点,所以-x-1=a-x 2.依
5、题意得方程 x2-x-a-1=0 在区间1,2上有解.设 h(x)=x2-x-1-a,则有 解得-1a1.故选 D.(1)0,(2)0,7.(2017 北京西城二模)函数 f(x)=x|x|,若存在 x1,+),使得 f(x-2k)-k0.=(-3) 2-441=-70 恒成立,k.当 k0),易知 x(0,+)时, f(x)为减函数 ,f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a, a -1,a3, 9.已知点 P1(x1,2 015)和 P2(x2,2 015)在二次函数 f(x)=ax2+bx+9(a0)的图象上,则 f(x1+x2)的值为 .答案 9解析 依题意得 x1+x2=-,则
6、 f(x1+x2)=f = +b +9=9.(-ba)a( -ba)2 ( -ba)10.(2016 北京第八十中学零模)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为 元. 答案 4 050解析 设每辆车的月租金为 x(x3 000)元,租赁公司的月收益为 y 元,则 y=x -(100-x-3 00050 )50- 150=- +162x-21 000.x-3 0005
7、0 (100-x-3 00050 ) x250根据题意得 解得 3 000x8 000.x3 000,100-x-3 00050 0,y=- +162x-21 000=- (x-4 050)2+307 050.x250 150当 x=4 050 时,y max=307 050.故每辆车的月租金应定为 4 050 元.11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时, f(x)=x 2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示.(1)写出函数 f(x)(xR)的增区间;(2)写出函数 f(x)(xR)的解析式;(3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x1,
8、2),求函数 g(x)的最小值.解析 (1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+).4(2)若 x0,则-x0),f(x)= 2-2(0),2+2(0).(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为 x=a+1,当 a+11,即 a0 时,g(1)=1-2a 为 g(x)在1,2上的最小值;当 12,即 a1 时,g(2)=2-4a 为 g(x)在1,2上的最小值.综上,在 x1,2上,g(x)min=1-2(0),-2-2+1(01). 12.已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数,a0,xR).(1)若函数 f(x)的图象过点(-2,1),且方程 f(x)
9、=0 有且仅有一个实根,求 f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当 x-1,2时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.解析 (1)因为 f(-2)=1,即 4a-2b+1=1,所以 b=2a.因为方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,所以 =b 2-4a=0,所以 4a2-4a=0,所以 a=1,所以 b=2.所以 f(x)=x2+2x+1.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1= +1- .(-22 )2 (-2)24由 x-1,2时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,得 2 或 -1,-22 -22即 k6 或 k0
10、,实数 k 的取值范围为(-,06,+).B 组 提升题组13.函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 ab)的图象如图所示,则函数 g(x)=ax+b 的大致图象是( )5答案 B 由 f(x)的图象可知 00)上的最大值为 4,最小值为 3,则实数 m 的取值范围是 ( )A.1,2 B.(0,1 C.(0,2 D.1,+)答案 A f(x)=(x-1) 2+3,f(1)=3, f(0)=f(2)=4.作出函数图象如图所示,由图可以看出当 1m2 时,函数 f(x)=x2-2x+4 在区间0,m(m0)上的最大值为 4,最小值为 3.故选 A.15.方程 x2+ax-2=0 在区间1,
11、5上有解,则实数 a 的取值范围为( )A. B.(1,+) C. D.(-235,+ ) -235,1 ( -, -235答案 C 方程 x2+ax-2=0 在区间1,5上有解转化为方程 a= 在区间1,5上有解,即直线 y=a 与 y=2-2的图象有交点,又因为 y= =-x 在1,5上是减函数,所以其值域为 ,所以实数 a 的取值2-2 2-2 -235,1范围为 ,故选 C.-235,116.已知 x-1,1时, f(x)=x 2-ax+0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.(0,2) B.(2,+) C.(0,+) D.(0,4)答案 A 二次函数图象开口向上,对称轴为直线
12、x=.当 x-1,1时, f(x)=x 2-ax+0 恒成立,即当 x-1,1时, f(x) min0 恒成立.当-1,即 a-2 时,f(x) min=f(-1)=1+a+0,解得 a-,与 a-2 矛盾;6当1,即 a2 时,f(x) min=f(1)=1-a+0,解得 a0,解得 0a2.(2)2422综上,实数 a 的取值范围是(0,2),故选 A.17.设函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)当 b= +1 时,求函数 f(x)在-1,1上的最小值 g(a)的表达式;24(2)已知函数 f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求 b 的取值范围.解析 (1)当 b=
13、+1 时, f(x)= +1,故对称轴为直线 x=-.24 (+2)2当-1,即 a-2 时,g(a)=f(1)= +a+2.当-1-1,即-2a2 时,g(a)=f =1.24 ( -2)当-1,即 a2 时,g(a)=f(-1)= -a+2.24综上,g(a)=24+2,-2,1,-22,24-+2,2.(2)设 s,t 为方程 f(x)=0 的解,且-1t1,则 +=-,=, 由于 0b-2a1,所以 s (-1t1).-2+2 1-2+2当 0t1 时, st ,-22+2 -22+2由于- 0,- 9-4 ,所以-b9-4 .-22+2 -22+2 5 5当-1t0 时, st ,-22+2 -22+2由于-2 0,-3 0,所以-3b0.-22+2 -22+2故 b 的取值范围是-3,9-4 .51
