1、1第六节 对数与对数函数A 组 基础题组1.关于函数 f(x)=log3(-x)和 g(x)=3-x,下列说法正确的是( )A.都是奇函数 B.都是偶函数C.函数 f(x)的值域为 R D.函数 g(x)的值域为 R答案 C 函数 f(x)与函数 g(x)都是非奇非偶函数,排除 A 和 B;函数 f(x)=log3(-x)的值域为 R,C 正确;函数g(x)=3-x的值域是(0,+),D 错误,故选 C.2.(2017 北京东城一模)如果 a=log41,b=log23,c=log2,那么这三个数的大小关系是( )A.cba B.acb C.abc D.bca答案 A a=log 41=0,1
2、ba,故选 A.3.若函数 f(x)=logax(00,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c答案 B log 5b=a,b0, =a,lglg5lg b=alg 5.lg b=c,alg 5=c.又5 d=10,d=log 510, =lg 5,1将其代入 alg 5=c 得 =c,即 a=cd.5.(2017 北京海淀期中)已知函数 y=xa,y=logbx 的图象如图所示,则 ( )2A.b1a B.ba1 C.a1b D.ab1答案 A 由题图可知 01.故选 A.6.如图,点 O 为坐标原点,点
3、A(1,1).若函数 y=ax(a0,且 a1)和 y=logbx(b0,且 b1)的图象与线段 OA 分别交于 M,N 两点,且 M,N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a,b 满足( )A.aa1 D.ab1答案 A 由题图知,函数 y=ax(a0,且 a1)与 y=logbx(b0,且 b1)均为减函数,所以 00 B.减函数且 f(x)0 D.增函数且 f(x)0 且 a1)的最大值是 1,最小值是-,求 a 的值.解析 由题意知, f(x)= (log ax+1)(logax+2)= (lo x+3logax+2)g2a= -.12(logax+32)2当 f(x)取最小值-时
4、,log ax=-.又x2,8,a(0,1).f(x)是关于 logax 的二次函数,函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得.若 -=1,则 a= ,12(loga2+32)2 2-13此时,令 f(x)=-,得 x=( = 2,8,舍去.2-13)-32 2若 -=1,则 a=,12(loga8+32)2此时,令 f(x)=-,得 x= =2 2,8,符合题意,a=.(12)-32 211.已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间;(2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说
5、明理由.解析 (1)因为 f(1)=1,所以 log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1,此时 f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x 2+2x+30 得-10,12a-44a =1,B 组 提升题组12.已知 lg a+lg b=0(a0 且 a1,b0 且 b1),则函数 f(x)=ax与 g(x)=-logbx 的图象可能是( )4答案 B 因为 lg a+lg b=0(a0 且 a1,b0 且 b1),所以 lg(ab)=0,所以 ab=1,即 b=,故 g(x)=-logbx=-lo x=logax,1则 f(x)与 g(x)互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,
6、结合选项知 B 正确.故选 B.13.(2018 北京丰台二模,6)设下列函数的定义域为(0,+),则值域为(0,+)的函数是( )A.y=ex-x B.y=ex+ln x C.y=x- D.y=ln(x+1)答案 D A 项,函数 y=ex-x,y=ex-1,令 ex-10 可知函数在(0,+)上单调递增,所以值域为(1,+),故排除 A.B 项,函数 y=ex+ln x,当 x0 时,ln x-,而 ex1,所以 y-,可排除 B;C 项,函数 y=x- 可看作关于 的二次函数,即 y=( )2- ,易得值域为 ,可排除 C,故选 D. -14,+ )14.(2018 北京西城期末,8)在
7、标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位 mol/L,记作H +)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位 mol/L,记作OH -)的乘积等于常数 10-14.已知 pH 的定义为 pH=-lgH+,健康人体血液的 pH 保持在 7.357.45 之间,那么健康人体血液中的 =( )+-(参考数据:lg 20.30,lg 30.48)A. B. C. D.110答案 C 本题考查对数的运算法则.由题可得 pH=-lgH+(7.35,7.45),且H +OH-=10-14,lg =lg =lg(H+21014)=2lgH+14,+- +10-14/+又因为 7.350,3,0, 则实数
8、 a 的取值范围是 . 答案 (1,+)解析 如图,在同一直角坐标系中作出 y=f(x)与 y=-x+a 的图象,其中 a 表示直线 y=-x+a 在 y 轴上的截距,由图可知,当 a1 时,直线 y=-x+a 与函数 f(x)的图象只有一个交点.16.已知 a0 且 a1,函数 f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,记 F(x)=2f(x)+g(x).11-(1)求函数 F(x)的定义域及零点;(2)若关于 x 的方程 F(x)-m=0 在区间0,1)上有解,求实数 m 的取值范围.解析 (1)F(x)=2f(x)+g(x)=2log a(x+1)+loga (a0 且 a1)
9、.11-由 得-10,11-0令 F(x)=0,即 2loga(x+1)+loga =0,(*)11-方程变形为 loga(x+1)2=loga(1-x),则(x+1) 2=1-x,即 x2+3x=0,解得 x1=0,x2=-3,经检验,x=-3 不符合题意,所以方程(*)的解为 x=0,即函数 F(x)的零点为 0.(2)方程可化为 m=2loga(x+1)+loga =loga =loga ,11- 2+2+11- (1-+ 41-4)故 am=1-x+ -4,设 t=1-x,t(0,1,y=t+,41-易知函数 y=t+在区间(0,1上是减函数.当 t=1 时,x=0,此时 ymin=5,所以 am1.若 a1,由 am1 得 m0;若 01 时,实数 m 的取值范围为0,+),当 0a1 时,实数 m 的取值范围为(-,0.1
