1、1第八节 函数与方程A 组 基础题组1.(2016 北京朝阳期末)下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=ex D.f(x)=sin x答案 D A、C 为非奇非偶函数,B 为奇函数,但不存在零点,故选 D.2.若函数 f(x)=ax+6 的零点为 1,则函数 g(x)=x2+5x+a 的零点是( )A.-6 B.6 C.6,-6 D.1,-6答案 D 函数 f(x)=ax+6 的零点为 1,a+6=0,a=-6,g(x)=x 2+5x-6=(x-1)(x+6),令 g(x)=0,得 x=1 或 x=-6,故函数 g(x)=x2+5x+a 的零点
2、是 1 和-6.3.已知函数 f(x)= 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实数根,则实数 k 的取值范围是 ( )log12x,x0,2,x 0,A.(0,+) B.(-,1) C.(1,+) D.(0,1答案 D 作出函数 y=f(x)与 y=k 的图象,如图所示:由图可知 k(0,1,故选 D.4.(2017 北京朝阳一模)已知函数 f(x)= 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( )-2+4x,x 2,log2x-a,x2 A.-1,0) B.(1,2 C.(1,+) D.(2,+)答案 C 当 x2 时,令 f(x)=-x2+4x=0,得 x=0 或 x=4(舍去
3、),即 x2 时, f(x)有一个零点.当 x2 时, f(x)=log 2x-a 是增函数,由题意知 x2 时, f(x)必有一个零点,故 a=log2x(x2),a1.故选 C.5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x0 时, f(x)=x 2-2x,若函数 g(x)=f(x)-m(mR)恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是 . 答案 (-1,0)2解析 画出函数 f(x)的图象如图所示,若函数 g(x)=f(x)-m(mR)恰有 4 个零点,则函数 f(x)的图象与直线y=m 有 4 个交点,由图易得 m 的取值范围为(-1,0).6.(2016 北京东城一模)已知函数
4、f(x)=(-1)2+1,x 0,2-,xm,(1)当 m=2 时,若函数 g(x)有两个零点,则 k 的取值范围是 ; (2)若存在实数 k,使得函数 g(x)有两个零点,则 m 的取值范围是 . 答案 (1)(4,8 (2)(-,0)(1,+)解析 (1)当 m=2 时, f(x)= 的图象如图所示,x3,x2,x2,x23要使函数 g(x)有两个零点,则方程 f(x)-k=0 有两个根,则函数 f(x)的图象与直线 y=k 有两个交点,由图可知41.8.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 有两个不相等的实数根,其中一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内,求
5、m 的取值范围.解析 由题意知,二次函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,则 f(0)=2m+10,f(1)=4m+20 m -56,即-0,x+1,x0.(1)求 gf(1)的值;(2)若方程 gf (x)-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围.解析 (1)f(1)=-1 2-21=-3,gf(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)若 f(x)=t,则 gf(x)-a=0 可化为 g(t)=a.易知方程 f(x)=t 仅在 t(-,1)时有 2 个不同的解,则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(t0
6、.当 k0 且直线 y=kx 与函数 y=-x2+8x-4 在第一象限内的图象相切时,两曲线有 1 个交点,联立得 消去 y,y= -x2+8x-4,y=kx, 整理得 x2+(k-8)x+4=0,由两曲线相切得 =(k-8) 2-44=0,解得 k=4 或 k=12(此时两曲线在第三象限相切,舍去).所以 k 的取值范围是(0,4),故选 C.11.(2017 北京海淀期中)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 若方程 f(x)=有两个不相等的实数2x+a,x0,ln(x+a),x0,根,则 a 的取值范围是( )A.-a0,当 x0 时, f(x)=ln(x+a)ln a,方程 f(x)=
7、有两个不相等的实数根,5 即 得-a0,00 时,f(x)=ln(x+a),此时方程 f(x)=有一个解,当 x0 时, f(x)=有一个解需满足 a1. (1)若 a=0,x0,4,则 f(x)的值域是 ; (2)若 f(x)恰有三个零点,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (1)-1,1 (2)(-,0)解析 (1)a=0 时, f(x)= -2,1,-1,1,f(x)在0,1上单调递减,在(1,4上单调递增.f(0)=0, f(1)=-1, f(4)=1,f(x)在0,4上的值域为-1,1.(2)当 x1 时,易得 f(x)的零点为 x=2a 和 x=a.当 x1 时,令 f(x)=0,
8、得 =1-a,x= (1-a) 2(1-a1).f(x)恰好有三个零点, 解得 a1,1-1, 13.(2017 北京东城二模,14)已知函数 f(x)=|-1|, 0,2,|-1|,|-3|, (2,4,|-3|,|-5|, (4,+).若 f(x)=a 有且仅有一个根,则实数 a 的取值范围是 ; 若关于 x 的方程 f(x+T)=f(x)有且仅有 3 个不同的实根,则实数 T 的取值范围是 . 6答案 (1,+) (-4,-2)(2,4)解析 如图, f(x)=1-, 0,1),-1, 1,2,3-, (2,3),-3, 3,4,5-, (4,5),-5, 5,+).由图可知,若 f(x
9、)=a 有且仅有一个根,则 a(1,+).T0 时,如图,B(5-T,0),11. (1)方程 f(x)=-x 有 个实根; (2)若方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (1)1 (2) 14,1)来源:Zxxk.Com解析 (1)函数 f(x)= 与 y=-x 的图象如图:14+1,1,1 观察图象可知方程 f(x)=-x 有 1 个实根.(2)方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实数根,7y=f(x)与 y=ax 的图象有 2 个不同的交点,x1 时,f (x)=,当 y=ax 与 f(x)(x1)相切时,设切点为(x 0,y0),则切线方程为 y-y0= (x-x0),又切线过原点,10y 0=1,x0=e,此时,y=ax 的斜率为,又直线 y=ax 与 y=x+1 平行时,直线 y=ax 的斜率为,实数 a 的取值范围是 .14,1)
