1、1第九节 函数模型及其应用A 组 基础题组1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报 40 元;方案二:第一天回报 10 元,以后每天的回报比前一天多 10 元;方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为 10 天,为使投资的回报最多,你会选择哪种方案投资?( )A.方案一 B.方案二 C.方案三 D.都可以答案 B 方案一:投资 10 天的回报为 4010=400 元;方案二:投资 10 天的回报为 1010+ 10=550 元;1092方案三:投资 10 天的回报为 =409.2 元.0.4(1-210)
2、1-2投资回报最多的为方案二,故选 B.2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D.某城市机动车最高限速 80 km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于 A 选项:由题图可知,当乙车速度大于 40 km/h 时,乙车每消耗 1 升汽油,行驶里程都超过 5 km,则 A 错;对于 B 选项:由题意可知,以相同速
3、度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则 B 错;对于 C 选项:甲车以 80 km/h 的速度行驶时,燃油效率为 10 km/L,则行驶 1 小时,消耗了汽油 80110=8(升),则 C 错;对于 D 选项:当行驶速度小于 80 km/h 时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则 D 对.综上,选 D.23.(2016 北京丰台一模)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1
4、低于均衡价格 P0时,需求量大于供应量,价格会上升为 P2;当产品价格 P2高于均衡价格 P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图象是( )答案 D 由题意可将 B、C 排除.选项 A、D 的区别在于两条曲线的斜率变化得快慢.当价格为 P2时,供应量大于需求量,价格下降为 P3,此时供应量小于需求量,价格会上升为 P4,在价格由 P1到 P4的变化过程中,选项 A 和选项 D 如图:发现选项 A 的价格会越来越远离 P0,选项 D 越来越靠近 P0.故选 D.4.(2017 北京东城二模,7)动点 P 从点 A 出
5、发,按逆时针方向沿周长为 l 的平面图形运动一周,A, P 两点间的距离 y 与动点 P 所走过的路程 x 的关系如图所示,那么动点 P 所走的图形可能是( )3答案 D 对于 A,当点 P 在边 AB 上运动时,y=x,不符合题意;对于 B,在椭圆中,y 与 x 的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于 C,当点 P 在边 AB 上运动时,y=x,不符合题意;对于 D,当点 P 运动到 AP 是直径时,y 最大,此时,x=,符合题意.故选 D.5.(2017 北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、培养学生的创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之
6、星”活动.规定各班每 10 人推选一名候选人,当各班人数除以 10的余数大于 7 时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y=x(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( )A.y= B.y= C.y= D.y=x10 x+210 x+310 x+410答案 B 采用特值法.令余数分别为 7 和 8,将两个临界值代入选项加以判断.=0, =0,排除 A;710 810=0, =1,B 符合;7+210 8+210=1, =1,排除 C;7+310 8+310=1, =1,排除 D.故选 B.7+410 8+4106.西北某羊皮手套公司准备
7、投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与年广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= - (x0).则当年广告费投入 万元时,该公司的年利512(x2+8x)润最大. 答案 4解析 L= - = - (x0).当 - =0,即 x=4 时,L 取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4512(x2+8x)43212(x-4x)2 x4x万元时,该公司的年利润最大.7.(2018 北京东城一模,14)单位圆的内接正 n(n3)边形的面积记为 f(n),则 f(3)= . 下面是关于 f(n)的描述:4f(n)= sin ;f(n)的最大值为 ;f(n)4,所以
8、在第 12 分钟时还能起到有效去污的作用.B 组 提升题组9.(2018 北京房山一模,8)如图,直线 AB 与单位圆相切于点 O,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 逆时针旋转,在旋转的过程中,记AOP=x(0x),OP 经过的单位圆内区域(阴影部分)的面积为 S,记 S=f(x),则下列判断正确的是( )A.当 x= 时,S= -34 34B.当 x(0,)时, f(x)为减函数C.对任意 x ,都有 f +f =(0, 2) ( 2-x) ( 2+x)D.对任意 x ,都有 f =f(x)+(0, 2) (+2) 2答案 C 当 x= 时,S=- = +,故 A 错;f(x)显然是增
9、函数,故 B 错;C 项中,将 x= 代入等式,等式34 (4-12)34 4不成立,故 D 错,故选 C.10.(2018 北京门头沟一模,8)某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分 技术 商务 报价100% 50% 10% 40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价标则相对灵活,报价标的评分方法:基准价的基准分是 68 分,若报价每高于基准价 1%,则在基准分的基础上扣 0.8 分,最低得分为 48 分;若报价每低于基准价 1%,则在基准分的基础上加 0.8
10、 分,最高得分为 80 分.若报价低于基准价 15%以上(不含 15%),每再低 1%,在 80 分的基础上扣 0.8 分.在某次招标中,基准价为 1 000 万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司 技术 商务 报价甲 80 分 90 分 A 甲 分6乙 70 分 100 分 A 乙 分甲公司的报价为 1 100 万元,乙公司的报价为 800 万元,则甲,乙公司的综合得分分别是( )A.73 分,75.4 分 B.73 分,80 分C.74.6 分,76 分 D.74.6 分,75.4 分答案 A 甲公司的报价为 1 100 万元,高于基准价 10%,所以扣 8 分,报价分为 68-8=60
11、 分,所以甲公司的综合得分为 8050%+9010%+6040%=73 分;乙公司的报价为 800 万元,报价低于基准价 20%,所以报价分为 80-0.85=76 分,所以乙公司的综合得分为 7050%+10010%+7640%=75.4 分,故选 A.11.(2017 北京房山一模,14)中华人民共和国个人所得税法规定:从 2011 年 9 月 1 日开始,个人所得税起征点由原来的 2 000 元提高到 3 500 元,也就是说原来月收入超过 2 000 元的部分需要纳税,从 2011 年 9 月 1 日开始,超过 3 500 元的部分需要纳税,若税法修改前后超过部分的税率相同,按下表分段
12、计税:级数 全月应纳税所得额 税率(%)1 不超过 1 500 元的部分 32超过 1 500 元不超过 4 500元的部分 103超过 4 500 元不超过 9 000元的部分 20某职工 2011 年 5 月缴纳个人所得税 295 元,在收入不变的情况下,2011 年 10 月该职工需缴纳个人所得税 元. 答案 145解析 调整前,月收入为 2 000+1 500=3 500 元时,需纳税 1 5000.03=45 元,月收入为 3 500+3 000=6 500 元时,需纳税 45+3 0000.1=345 元,45295345,该职工的月收入超过 3 500 元且不超过 6 500 元,该职工在超过 1 500 元不超过 4 500 元的部分纳税 295-45=250 元,故超过 1 500 不超过 4 500 元的部分为 2500.1=2 500 元,该职工的月收入为 3 500+2 500=6 000 元.2011 年 10 月该职工需缴纳个人所得税 1 5000.03+(6 000-3 500-1 500)0.1=145 元.方法点拨 与实际生活有关的分段函数问题常要根据已知的函数值来求自变量,应抓住自变量的变化范围,求出相应的函数值的范围,判断所求问题应在哪个范围内解决.7
