1、第4讲 导数与函数、不等式的 综合应用,1(湖南高考题)若0x1x21，则,体验真题,答案 C,1考查形式 题型：解答题；难度：高档 2命题角度 导数的综合应用是高考热点，高考中常与函数的零点、不等式等相结合，难度较大 3素养目标 提升逻辑推理、数学运算、数学抽象等素养.,感悟高考,方程f(x)0的根x0函数yf(x)的零点x0yf(x)的图像与x轴交点的横坐标x0；利用导数研究函数零点问题归根到底还是研究函数单调性、极(最)值，图像的走势，在解题过程中要注意函数与方程思想(巧构造函数)数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法的活用,热点一 利用导数综合研究函数的零点(贯通提能),例1,命题点
2、2 根据函数零点存在情况求参数范围(2018全国卷)已知函数f(x)exax2. (1)若a1，证明：当x0时，f(x)1； (2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a. 【解析】 (1)当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex. 当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.,例2,方法技巧 利用导数研究函数零点问题的思路 (1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并
3、确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图像草图，数形结合求解 (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数,突破练1 (2018合肥第二次质检)已知函数f(x)xln xaex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是_,热点二 利用导数研究不等式问题(贯通提能) 构造辅助函数的四种方法 1移项法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x) 2构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、
4、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数,3主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x) 4放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数,例3,方法技巧 利用导数证明不等式的两个妙招 1构造函数法证明不等式 (1)移项，使等式右边为零，左边构造为新函数 (2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论 (3)根据单调性，求出最值与0比较即可得证,2转化函数最值法证明不等式 (1)条件：函数很复杂，直接求导不可行 (2)拆分：把复杂函数拆分成两个易求最值函数
5、 (3)方法：分别求导，结合单调性和图像以及极值、最值，比较得出结论,命题点2 利用导数解决不等式恒成立、能成立问题(2018宁波模拟)已知f(x)2ln(x2)(x1)2，g(x)k(x1) (1)求f(x)的单调区间； (2)当k2时，求证：对于x1，f(x)1，使得当x(1，x0)时，恒有f(x)g(x)成立，试求k的取值范围,例4,即f(x)h(1)0，即f(x)g(x)0恒成立 综上，k的取值范围为(，2),方法技巧 1利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可,(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解 2利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 (1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题； (2)用导数求该函数在该区间上的最值问题； (3)构建不等式求解,
