1、11.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理,-2-,知识梳理,考点自诊,1.两个计数原理,n类不同的方案,n个步骤,-3-,知识梳理,考点自诊,2.两个计数原理的区别与联系,-4-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.( ) (4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (5)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一
2、步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种不同的方法.( ),-5-,知识梳理,考点自诊,2.(2018黑龙江牡丹江模拟)十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则行车路线共有( ) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种,C,解析:根据题意,车的行驶路线起点有4种,行驶方向有3种,所以行车路线共有43=12种,故选C.,-6-,知识梳理,考点自诊,3.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24 B.18 C.12 D.9,B,解析:由题意知,
3、小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.,-7-,知识梳理,考点自诊,4.(2018北京昌平区模拟)四个足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场),每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局双方各得1分.比赛结束后发现没有足球队全胜,且四队得分各不相同,则所有比赛中可能出现的最少平局场数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,B,解析:四个队得分总和最多为36=18,若没有平局,又没有全胜的队,则四个队的得分只可能有6,3,0三种选择,必有两队得分相同,与四队得分各不相同矛盾,所以最少平局场数是1,此时四
4、队分数为7,6,3,1,故选B.,-8-,知识梳理,考点自诊,5.(2018山东烟台模拟)上合组织峰会于2018年6月在青岛召开,组委会预备在会议期间将A,B,C,D,E这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作.若要求A,B必须在同一组,且每组至少2人,则不同分配方法的种数为 .,8,解析:将AB捆绑在一起,分两类,一类是A、B两人在一组,另三人在一组,一类是A、B再加另一人在一组,另一组只有2人,所以不同的分配方法为(1+ )2=8.,-9-,考点1,考点2,考点3,例1(1) 满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( ) A
5、.14 B.13 C.12 D.9 (2)已知椭圆 的焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5, n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为 .,分类加法计数原理,B,20,-10-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)当a=0时,x=- ,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a0时,则=4-4ab0,ab1. 当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能; 当a=2时,b=-1,0,有2种可能. 所以满足条件的有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个). (2)焦点在y轴上的椭圆满足mm的n有6种选择;第二类:当m=2时,使nm的n
6、有5种选择;第三类:当m=3时,使nm的n有4种选择;第四类:当m=4时,使nm的n有3种选择;第五类:当m=5时,使nm的n有2种选择.由分类加法计数原理知,符合条件的椭圆共有20个.,-11-,考点1,考点2,考点3,思考使用分类加法计数原理应遵循的原则是什么? 解题心得使用分类加法计数原理应遵循的原则:分类的标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.,-12-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018湖南十四校联考)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书(每类课外书均有若干
7、本),已知每人均只借阅一本,每类课外书均有人借阅,且甲只借阅A类课外书,则不同的借阅方案种类为( ) A.48 B.54 C.60 D.72,C,-13-,考点1,考点2,考点3,分步乘法计数原理 例2(1)(2018湖北黄冈三模)对33 000分解质因数得33 000=2335311,则33 000的正偶数因数的个数是 ( ) A.48 B.72 C.64 D.96(2)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有 种.(用数字作答),A,480,-14-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)33 000的因数中有若干个2(共有23,
8、22,21,20四种情况),若干个3(共有3,30两种情况),若干个5(共有53,52,51,50四种情况),若干个11(共有111,110两种情况), 由分步乘法计数原理可得33 000的因数共有4242=64个,不含2的共有242=16个, 正偶数因数有64-16=48(个),即33 000的正偶数因数的个数是48,故选A. (2)从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D有4种涂色方法.由分步乘法计数原理可知,共有6544=480种涂色方法.,-15-,考点1,考点2,考点3,思考应用分步乘法计数原理解决问题时,如何分步?对分步有何要求? 解题心得利用分步乘法
9、计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.,-16-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2018安徽合肥三模)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有( ) A.24 B.48 C.96 D.120,C,解析:若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有一种涂法,共有432=24种;若A,D颜色不同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有3种涂法,当B和D相同时,
10、C有一种涂法,当B和D不同时, C只有一种涂法,共有433(1+1)=72种,根据分类加法计数原理可得,共有24+72=96(种),故选C.,-17-,考点1,考点2,考点3,两个计数原理的综合应用 例3(1) (2018山东潍坊二模)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( ) A.120
11、种 B.156种 C.188种 D.240种,A,-18-,考点1,考点2,考点3,(2)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .(用数字作答),96,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,思考应用两个计数原理解决计数问题时的一般思路是怎样的? 解题心得在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又要用到分类加法计数原理.,-21-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)从1,2,3,4,7,
12、9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为 . (2)(2018河北武邑调研)3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员,若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能选聘上),则不同的选聘方法种数为( ) A.60 B.36 C.24 D.42 (3)(2018百校联盟TOP20三月联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食,教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地,分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜,若这三种蔬菜种植齐全,同一块地只能种植一种蔬菜,且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜,则不同的种植方式共有 ( ) A.9种 B.18种 C.12种 D.36种,17,A,
13、B,-22-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)分两类:当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; 不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的取法. 其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93, 所以不同的对数值的个数为1+54-4=17.(3)若两块地种植西红柿,则它们在13,14或24位,其他两位是黄瓜和茄子,所以共有32=6种种植方式;若两块地种植黄瓜或茄子也有3种种植方式,所以一共有63=18种.故选B.,-23-,考点1,考点2,考点3,1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有
14、先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成. 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类. 3.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路:(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.,-24-,考点1,考点2,考点3,1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.,
