1、12.4 二项分布与正态分布,-2-,知识梳理,考点自诊,1.条件概率及其性质,P(B|A)+P(C|A),-3-,知识梳理,考点自诊,2.事件的相互独立性 (1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)= ,那么称事件A与事件B相互独立. (2)性质:若事件A与B相互独立,则P(B|A)= ,P(A|B)=P(A). 如果A1,A2,An相互独立,那么P(A1A2An)= .,P(A)P(B),P(B),P(B|A)+P(C|A),-4-,知识梳理,考点自诊,3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只
2、有 种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)= ,此时称随机变量X服从 ,记作 ,并称p为成功概率.,两,二项分布,XB(n,p),-5-,知识梳理,考点自诊,4.正态分布 (1)正态曲线:函数 ,其中实数和(0)为参数.我们称函数,(x)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 曲线在x轴的上方,与x轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线x=对称;曲线与x轴之间的面积为1; 当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移; 当一定时,曲线的形状
3、由确定.越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.,-6-,知识梳理,考点自诊,(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= ,则称随机变量X服从正态分布,记作 . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+)= ; P(-2X+2)= ; P(-3X+3)= .,XN(,2),68.3%,95.4%,99.7%,-7-,知识梳理,考点自诊,1.A,B中至少有一个发生的事件为AB. 2.A,B都发生的事件为AB.,-8-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)条件概率一
4、定不等于它的非条件概率.( ) (2)对于任意两个互斥事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件,而互斥事件一定不是独立事件.( ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( ) (5)X服从正态分布,通常用XN(,2)表示,其中参数和2分别表示正态分布的均值和方差.( ),-9-,知识梳理,考点自诊,2.(2018全国3,理8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6
5、C.0.4 D.0.3,B,-10-,知识梳理,考点自诊,3.(2018黑龙江哈尔滨考前压轴,5)若随机变量X服从二项分布A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1) C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1),D,-11-,知识梳理,考点自诊,4.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,在两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率是( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9,C,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,条件概率 例1(2018河南信阳模拟,8
6、)已知袋子内有6个球,其中3个红球,3个白球,从中不放回地依次抽取2个球,那么在已知第一次抽到红球的条件下,第二次也抽到红球的概率是( ),C,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(2018河北衡水模拟,8)据统计,一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04,一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病,则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为( ),A,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:记事件A:某公司职员一次性饮酒4.
7、8两未诱发脑血管病, 记事件B:某公司职员一次性饮酒7.2两未诱发脑血管病, 则事件B|A:某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病,继续饮酒2.4两不诱发脑血管病,则BA,AB=AB=B, P(A)=1-0.04=0.96,P(B)=1-0.16=0.84,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,相互独立事件的概率 例2(2018山东济南一模,6)两名学生参加考试,随机变量x代表通过的学生数,其分布列为那么这两人通过各自考试的概率最小值为( ),B,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有
8、哪些常用的方法? 解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法: (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2设某人有5发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为 .若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完. (1)求他前两发子弹只命中一发的概率; (2)求他所耗用的子弹数X的分布列与均值.,-21-,考点1
9、,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,独立重复试验与二项分布 例3(2019届河南新乡一模,18)已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序,第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为 ,每道程序是相互独立的,且一旦审核不通过就停止审核,每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售. (1)求审核过程中只通过两道程序的概率; (2)现有3部智能手机进入审核,记这3部手机可以出厂销售的部数为X,求X的分布列. 思考二项分布满足的条件有哪些?,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4一家医药研究所从中草
10、药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”. (1)求一个试用组为“甲类组”的概率; (2)观察3个试用组,用表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求的分布列和均值.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.独立重复试验满足的两个条件:一是在同样的条件下
11、重复进行;二是各次试验之间相互独立. 2.二项分布满足的条件 (1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(2018湖南一模,19)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如表:,从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一月份的月用水量,得到如下茎叶图:,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)现要在这10户家庭
12、中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与均值; (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n户月用水量为二阶的可能性最大,求n的值.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,有关正态分布的问题 例5(2018河南中原名校联盟一模,19)在某校举行的一次数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名. (1)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上
13、(含80分)的学生,试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人? 附:P(|X-|)=68.3%,P(|X-|2)=95.4%,P(|X-|3)=99.7%.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何求正态分布在某一个区间上的概率? 解题心得解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用. (1)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. 正态曲线关于直线x=对称,从而在
14、关于x=对称的区间上概率相同. P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a).,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(2018江西南昌一模,18)某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A、B、C、D、E五等21级,该省的某市为了解本市1万名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49),现从
15、某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)估算该校50名学生成绩的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)现从该校50名考生成绩在80,100的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前15名的人数记为X,求随机变量X的分布列和均值. 参考数据:若XN(,2),则P(-X+)=68.3%,P(-2X+2)=95.4%,P(-3X+3)=99.7%.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(AB)=P(A)+P(B).两个事件相互独立不一定互斥.3.若X服从正态分布,即XN(,2),要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时,一定要注意公式成立的条件,只有当事件A,B相互独立时,公式才成立. 2.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.,
