1、4.7 解三角形,-2-,知识梳理,考点自诊,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则,-3-,知识梳理,考点自诊,-4-,知识梳理,考点自诊,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 的角叫做仰角,目标视线在水平视线 的角叫做俯角(如图). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指从正北方向 转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为(如图). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,上方,下方,顺时针,-5-,知识梳理,
2、考点自诊,1.在ABC中,因A+B+C=,所以有以下结论: (1)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C. (2)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (3)ABabsin Asin Bcos A0(=0,0)时,A分别为锐角、直角、钝角.,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ( ) (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在AB
3、C中,sin Asin B的充分不必要条件是AB. ( ) (4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件. ( ) (5)在ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,D,解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-4b , 即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.,-8-,知识梳理,考点自诊,A,C,-9-,知识梳理,考点自诊,5.(2018河北衡水中学押题三,15)已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则ABC的面积为
4、 .,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,利用正、余弦定理解三角形,C,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形? 解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化. 2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. 3.已知两角和一
5、边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,3,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)b2=a(a+c),由余弦定理,得a2+c2-2accos B=a(a+c), 化简得c-a=2acos B,由正弦定理,得sin C-sin A=2sin Acos B, C=-(A+B),sin(A+B)-sin A=2sin Acos B, 化简得sin(B-A)=sin A, ABC是锐角三角形,B-A=A,即B=2A,-16-,考点1,考点2,
6、考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,判断三角形的形状 例2(1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 (2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,则ABC的形状为 .,B,等边三角形,解析: (1)由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A. A(0,),sin A0,sin A
7、=1,即A= . ABC为直角三角形.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断三角形的形状时主要有哪些方法? 解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
8、,若2sin Acos B=sin C,那么ABC一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 (2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C=51113,则ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形,B,C,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,正、余弦定理与三角变换的综合问题,例3(2018湖南长郡中学三模,18)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
9、c=2,C= . (1)当2sin 2A+sin(2B+C)=sin C时,求ABC的面积; (2)求ABC周长的最大值.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考在三角形中进行三角变换要注意什么? 解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数. 2.在解三角形问题中,因为面积公式S= absin C= bcsin A= acsin B中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供条件.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,
10、-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,正、余弦定理在生活中的应用 例4(2018河北衡水中学金卷十模,17)如图,一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为,沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为.(1)求BC的长; (2)若l=24,=45,=75,=30,求信号塔CD的高度.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么? 解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可
11、用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,根据条件列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系. 2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.,1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象. 2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,
