1、9.2 点与直线、两条直线的位置关系,-2-,知识梳理,考点自诊,1.两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括 三种情况. (1)两条直线平行 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2. 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10). (2)两条直线垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1. 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1l2 .,平行、相交
2、、重合,A1A2+B1B2=0,-3-,知识梳理,考点自诊,2.两条直线的交点,相交方程组有 ; 平行方程组 ; 重合方程组有 .,唯一解,无解,无数个解,-4-,知识梳理,考点自诊,3.三种距离公式,-5-,知识梳理,考点自诊,1.与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直或平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 2.与对称问题相关的两个结论: (1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0). (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则有,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断
3、下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( ) (2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( )(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 . ( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( ) (5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2均为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.(2018江西上饶二模,5)“a=-3”是“直线l1:ax
4、-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,解析:由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直可得, 2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.,3.(2018河北衡水联考三,4)若实数m,n满足5m=4,4n=5,则直线l1:mx+y+n=0与直线l2:nx-y+m=0的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.无法确定,C
5、,解析:由5m=4,4n=5,得m=log54,n=log45,又直线l1:mx+y+n=0和直线l2:nx-y+m=0的斜率分别为-m和n,所以-mn=-log54log45=-1,故直线l1,l2垂直.,-8-,知识梳理,考点自诊,B,5.(2018宁夏银川一中月考,13)如果直线l1:2x-y-1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么a的值是 .,-2,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,两条直线的平行与垂直 例1已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1l2时,求a的值.,-10-,考点
6、1,考点2,考点3,考点4,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论? 解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2018天津期中,4)若两条直线(a2+a-6)x+12y-3=0与(a-1)x-(a-2)y+4-a=0互相垂直,则a的值等于( )A.3 B.3或5 C.3或
7、-5或2 D.-5,C,A,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,直线的交点问题 例2(1)已知直线y=kx+2k+1与直线y=- x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 . (2)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为 .,x+3y-5=0或x=-1,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,即x+3y-5=0. 当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4). 所以直线l的方程为x=-1. 故所求直线l的
8、方程为x+3y-5=0或x=-1.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点. 2.常见的三大直线系方程: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.,-19-,考点1,考点2,考点3,学科素养微专题,
9、考点4,对点训练2(1)(2018贵州遵义二联,11)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则ABC的欧拉线方程为 ( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y+3=0 C.x-2y-3=0 D.x-2y+3=0 (2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为 .,D,3x+y=0,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,距离公式的应用
10、 例3(1) 若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ),C,4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用距离公式应注意的问题有哪些? 解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,A,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,对称问题(多考向) 考向1 点关
11、于点对称 例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 . 思考点关于点的对称问题该如何解?,x+4y-4=0,解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 点关于直线的对称问题 例5(2018宁夏银川一中月考,4)点P(2,5)关于x+y+1=0的对称点的坐标为( ) A.(6,3
12、) B.(3,-6) C.(-6,-3) D.(-6,3) 思考点关于直线的对称问题该如何解?,C,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3 直线关于直线的对称问题 例6已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,直线l2的方程为 . 思考直线关于直线的对称问题该如何解?,x-y-5=0,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. 2.直线关于点的对称:求直线l关
13、于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上. 3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程. 4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)(2018内蒙古包头期末,5)已知A(3,-1),B(5,-2),点P
14、在直线x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则点P的坐标是( ),(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于 . (3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.,C,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)如图所示,点A(3,-1)关于直线l:x+y=0的对称点为C(1,-3),-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,-35-,考点1,考点
15、2,考点3,考点4,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.对于两条直线的位置关系的判断或求解: (1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2. (2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1. 2.中心对称问题 (1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决. (2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.轴对称问题 (1)点关于直线的对称,(2)直线关于直
16、线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题.,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的. 2.讨论直线的位置关系涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形. 3.“l1l2A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.,-39-,易错警示妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系. 典例1求与直线3
17、x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 方法指导:因为所求直线与3x+4y+1=0平行,因此,可设该直线方程为3x+4y+c=0(c1). 规范解答 解:由题意,可设所求直线方程为3x+4y+c=0(c1), 又因为直线l过点(1,2), 所以31+42+c=0,解得c=-11. 因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.,-40-,二、垂直直线系 由于直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0.因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解. 典例2求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直
18、的直线l的方程. 方法指导:依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解. 规范解答 解因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C1=0,又直线过点A(2,1), 所以有2-21+C1=0,解得C1=0, 即所求直线方程为x-2y=0.,-41-,三、过直线交点的直线系 典例3经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 . 方法指导:可分别求出直线l1与l2的交点及所求直线的斜率k,直接写出方程;也可以根据垂直关系设出所求方程,再把交点坐标代入求解;还可以利用过交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解. 答案:4x-3y+9=0,-42-,-43-,方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,代入4x-3y+m=0,得m=9, 故所求直线方程为4x-3y+9=0. 方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x+3y+1)+(x-3y+4)=0, 即(2+)x+(3-3)y+1+4=0, 又所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 3(2+)+4(3-3)=0, =2,代入式得所求直线方程为4x-3y+9=0.,
