1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系,-2-,知识梳理,考点自诊,1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为.,=,=,-3-,知识梳理,考点自诊,dr1+r2,无解,d=r1+r2,|r1-r2|dr1+r2,一组实数解,无解,-4-,知识梳理,考点自诊,1.当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程. 2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y
2、=r2. 3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切. ( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为外切. ( ) (3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件. ( ) (4)过圆O:x2+y2=r2
3、外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. ( ) (5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,解析:当a=1时,直线l:y=kx+a过定点P(0,1),点P在圆C内,所以直线l与圆C相交,故充分条件成立;而当a=0时,亦有直线l和圆C相交,故选A.,-7-,知识梳理,考点自诊,3.
4、(2018海南琼海模拟,9)若过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y +m+1=0相切,则实数m的取值范围是( ) A.(-,-1) B.(-1,+) C.(-1,0) D.(-1,1),D,解析:由已知可知圆的方程满足D2+E2-4F0,则4+4-4(m+1)0,解得m0,解得m-1,综上实数m的取值范围为-1m1,故选D.,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2018湖南师大附中摸底,14)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是 .,答案:x+4=0或4x+3y+25=0 解析:由已知条件知圆心(-1,-2),半径
5、r=5,弦长m=8.,-9-,考点1,考点2,考点3,直线与圆的位置关系及其应用 例1(1)已知O的方程x2+y2=r2(r0),点P(a,b)(ab0)是圆O内一点,以P为中心点的弦所在的直线为m,直线n的方程为ax+by=r2,则( ) A.mn,且n与圆O相离 B.mn,且n与圆O相交 C.m与n重合,且n与圆O相离 D.mn,且n与圆O相交 (2)(2018云南宣威五中期末,10)若直线l:y=kx+1(k0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,A,A,-10-,考点1,考点2,
6、考点3,-11-,考点1,考点2,考点3,思考在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些? 思路分析(1)利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率,进而根据直线n的方程可判断出两直线平行;表示出点到直线n的距离,根据点P在圆内判断出a,b和r的关系,进而判断出圆心到直线n的距离大于半径,判断出二者的关系是相离.(2)直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径,求出斜率k,再根据圆D的圆心到直线的距离,判断其与直线的关系. 解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
7、2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.,-12-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018山东师范大学附属中学期末,6)已知半圆(x-1)2+ (y-2)2=4(y2)与直线y=k(x-1)+5有两个不同交点,则实数k的取值范围是( ),D,解析:绘制半圆如图所示,直线y=k(x-1)+5表示过点K(1,5),斜率为k的直线, 如图所示的情形为临界条件,即直线与圆相切, 此时圆心(1,2)到直线kx-y-k+5=0的距离等于圆的半径2,-13-,考点1,考点2,考点3,圆的切线与弦长问题 例2已知点M(3,1)
8、,直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点M的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值; (3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.,-14-,考点1,考点2,考点3,解 (1)圆心C(1,2),半径r=2, 当直线的斜率不存在时,方程为x=3. 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,思考如何运用圆的几何性质求解圆的切线
9、与弦长问题? 解题心得1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线. 2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.,-17-,考点1,考点2,考点3,D,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,圆与圆的位置关系及其应用,B,B,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,思考在两圆的位置关系中,圆心距与两圆半径
10、的关系如何? 解题心得1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论. 2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,要注重数形结合思想的应用.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018福建福州外国语学校适应性考试)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r0)上存在点P(不同于点A,B)使得PAPB,则实数r的取值范围是( ) A.(1,5) B.1,5 C.(1,3 D.3,5 (2)设P,Q分别为圆O1:x2+(y-6)2=2
11、和圆O2:x2+y2-4x=0上的动点,则P,Q两点间的距离的最大值是 ( ),(3)(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为 .,A,A,(x+3)2+(y+3)2=18,-24-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)根据直径所对的圆周角为90,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-3)2+y2=r2有交点,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交.而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,两个圆的圆心距为3,故|r-2|3r+2,求得1r5,故选A.,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点
12、3,1.直线与圆、圆与圆的位置关系问题,考虑到圆的几何性质,一般用几何法解决. 2.直线与圆、圆与圆的交点问题,要联立直线与圆的方程,或联立圆与圆的方程来解决. 3.圆的切线问题: (1)过圆上一点的切线方程的求法是先求切点与圆心连线的斜率,再根据垂直关系求得切线斜率,最后通过直线方程的点斜式求得切线方程; (2)过圆外一点的切线方程的求法,一般是先设出所求切线方程的点斜式,再利用圆心到切线的距离等于半径列出等式求出所含的参数即可.若只求出一条切线方程,则斜率不存在的直线也是切线.,-27-,考点1,考点2,考点3,4.圆的弦长问题首选几何法,即利用圆的半径、弦心距、弦长的一半满足勾股定理;弦长问题若涉及直线与圆的交点、直线的斜率,则选用代数法.,1.过圆外一定点作圆的切线,有两条,若在某种条件下只求出一个结果,则斜率不存在的直线也是切线. 2.本节问题的解决多注意数形结合,圆与其他知识的交汇问题多注意问题的转化. 3.若圆与圆相交,则可以利用两个圆的方程作差的方法求得公共弦所在直线的方程.,
