1、9.7 抛物线,-2-,知识梳理,考点自诊,1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ; (2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ; (3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ; (4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .,距离相等,焦点,准线,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),-3-,知识梳理,考
2、点自诊,2.抛物线的标准方程和几何性质,(0,0),y=0,x=0,1,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦, 若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0). ( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.
3、 ( ) (5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 . ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,C,2.(2018辽宁沈阳八模,3)已知抛物线的焦点在x轴负半轴上,若p=2,则其标准方程为( ) A.y2=-2x B.x2=-2y C.y2=-4x D.x2=-4y,解析:因为抛物线的焦点在x轴负半轴上,所以抛物线开口向左,所以抛物线的标准方程是y2=-2px,又p=2,所以抛物线方程为y2=-4x,故选C.,3. M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则MKO=( ) A.1
4、5 B.30 C.45 D.60,C,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2018江西南昌测试三,13)若抛物线x2=8y上的点P到焦点的距离为12,则点P到x轴的距离是 .,10,解析:因为抛物线方程为x2=8y, 所以其焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2. 因为点P到焦点的距离为12,所以点P到准线的距离也为12. 所以点P到x轴的距离为10.,5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则AOB的面积为 .,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,C,抛物线的定义及其应用 例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛
5、物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为( ),(2)(2018北京朝阳一模,5)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线E于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16,B,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题? 解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,
6、考点5,对点训练1(1)(2018福建厦门质检二,6)已知拋物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与曲线C交于A,B两点,|AB|=6,则AB中点到y轴的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,B,C,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析: (1)由抛物线C的方程为y2=4x,得F(1,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|等于点A到准线x=-1的距离x1+1, 同理,|BF|等于B到准线x=-1的距离x2+1, |AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=6,x1+x2=4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,抛物线的方程
7、及几何性质 例2(1)(2018四川南充三诊,15)已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax的焦点F,且与y轴相交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则a= . (2) (2018湖北黄冈中学三模,5)已知点P(-1,4),过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为( ),8,D,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点, P一定在抛物线C上, 若抛物线焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px, 将P(-1,4)代入方程可得2p=-16, 故抛物线C的标准方程为y2=-16x; 若抛物线焦点在y
8、轴上,设抛物线方程为x2=2py,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么? 解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练2(1)直线l过抛物线x2=2py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段A
9、B的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是( ) A.x2=12y B.x2=8y C.x2=6y D.x2=4y (2)(2018河北衡水中学押题卷四,6)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=( ),B,D,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,与抛物线相关的最值问题 例3(1)(2018青海西宁二模,11)抛物线y2=4x的焦点为F,点A(5,3),M为抛物线上一点,且M不在直线AF上,则MAF周长的最小值为( ) A. B.12 C.11 D.10
10、(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10,A,C,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析: (1)求MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值, 设点M在准线上的射影为D,根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|, 因此,|MA|+|MF|的最小值,即为|MA|+|MD|的最小值, 根据平面几何知识,可得当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小, 因此最小值为xA-(-1)=5+1=6,因为 ,所以
11、MAF周长的最小值为11,故选C.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的? 解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,D,C,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,
12、考点5,解析: (1)过点M作抛物线y2=2x左准线的垂线,垂足是N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时点M的坐标为(2,2). (2)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为E(0,4),半径为1,根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x=-1距离之和的最小值为 故选C.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例4(1)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半
13、轴相切于点A,若FAC=120,则圆的方程为 . (2)(2018河北唐山三模)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为( ),抛物线与其他圆锥曲线的综合,D,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析: (1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1, 由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b0),则C(-1,b),A(0,b). FAC=120,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点, |PQ|的最小值为2 3 -1,故选D.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求解抛物
14、线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么? 解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,A,D,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析: (1)根据题意,四边形MNPQ为矩形,可得PQ=MN, 从而得到圆心F到准线的距离与到MN的距离相等, 所以M点的横坐标为3,代入抛物线方程,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,直线与抛物线的关系,例5(2019广东江门高三调研,2
15、0)过抛物线E:y2=4x的焦点F的直线交抛物线E于两点P1,P2,线段P1P2的中点为P. (1)求动点P的轨迹的方程; (2)经过坐标原点O的直线l与轨迹交于A,B两点,与抛物线E交于不同于原点的点C,若|OC|=6|AB|,求直线l的方程.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求解抛物线综合问题的一般方法是怎样的? 解题心得求解抛物线综合问题的方法 (1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类
16、似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练5 (2018江苏南京三模,25)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(1,a)(a0)是抛物线C上一点,且AF=2.(1)求p的值; (2)若M,N为抛物线C上异于A的两点,且AMAN.记点M,N到直线y=-
17、2的距离分别为d1,d2,求d1d2的值.,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.认真区分四种形式的标准方程: (1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程. 2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.,-41-,
