1、第三节 导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数,2.函数的最值与导数,教材研读,考点一 利用导数研究函数的极值,考点二 利用导数求函数的最值,考点三 利用导数求解函数的极值和最值的综合问题,考点突破,教材研读,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大 , f (
2、b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x)0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值, 极大值和极小值统称为极值. 提醒 f (x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3, f (0)=0,但x=0不是极值点.,2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件: 一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (ii)将函
3、数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (2)对可导函数f(x),f (x0)=0是x0点为极值点的充要条件. ( ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值. ( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值. ( ),答案 (1) (2) (3) (4),2.函数f(x)的定义域为R,导函数 f(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点
4、 D.有四个极大值点、无极小值点,C,答案 C 设f (x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1、x2、x3、x4. 当x0, f(x)为增函数, 当x1xx2时, f (x)0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大 值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.,3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,答案 D 由题意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f (x)=0,得x=-2或x=2, 则f (x), f(x)随x的变化情况如下表:函数f(x)在x=2处取得极小值,则
5、a=2.故选D.,D,4.函数y=xex的最小值是 ( ) A.-1 B.-e C.- D.不存在,答案 C y=xex,y=ex+xex=(1+x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0. 当x=-1时函数取得极小值,即最小值,且ymin=- .故选C.,C,5.函数f(x)=ex+ln x在(0,1上的最大值为 .,答案 e,解析 因为x(0,1,所以f (x)=ex+ 0,所以f(x)在(0,1上是增函数,所以 f (x)max=f(1)=e.,利用导数研究函数的极值 命题方向一 根据函数的图象判断极值,考点突破,典例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数y=(1-
6、x)f (x)的图 象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( ),D,A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2),解析 由题图可知,当x3,此时f (x)0;当-22时,1-x0, 函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.,答案 D,命题方向二 求函数的极值 典例2 已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(
7、x)的极值.,解析 (1)由f(x)=x-1+ ,得f (x)=1- . 又曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴, 所以f (1)=0,即1- =0,解得a=e. (2)f (x)=1- , 当a0时,f (x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值. 当a0时,令f (x)=0,得ex=a,即x=ln a, 当x(-,ln a)时, f (x)0;,当x(ln a,+)时, f (x)0, 所以f(x)在(-,ln a)上单调递减, 在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)= ln a,无极大值. 综上,
8、当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极 大值.,命题方向三 已知函数的极值求参数 典例3 (1)(2018山东泰安检测)已知函数g(x)=ln x-mx+ 有两个极值点, 则m的取值范围为 . (2)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (i)令g(x)=f (x),求g(x)的单调区间; (ii)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.,答案 (1),解析 (1)g(x)= -m- = =- , 令h(x)=mx2-x+m, 要使g(x)存在两个极值点x1,x2, 则方程mx2-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x
9、2. 故只需满足 解得0m .,(2)(i)由f (x)=ln x-2ax+2a, 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+). 则g(x)= -2a= . 当a0时,g(x)0,函数g(x)单调递增; 当a0时,若x ,则g(x)0,函数g(x)单调递增, 若x ,则g(x)0,函数g(x)单调递减. 所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+);,当a0时,g(x)的单调增区间为 ,单调减区间为 . (ii)由(i)知,当a0时, f (x)单调递增, 所以当x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. 当01,由(i)知f
10、(x)在 内单调递增,可得当x(0,1)时,f (x)0.,所以f(x)在(0,1)内单调递减,在 内单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. 当a= 时, =1, f (x)在(0,1)内单调递增, 在(1,+)内单调递减, 所以当x(0,+)时, f (x)0, f(x)单调递减,不合题意. 当a 时,00, f(x)单调递增,当x(1,+)时, f (x) .,规律总结 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤: 确定函数的定义域;求导数f (x);解方程f (x)=0,求出函数定义域 内的所有根;列表检验f (x)在f (x)=0的根x0左右两侧值
11、的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领: 列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系 数法求解. 验证:求解后验证根的合理性.,1-1 函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=1,x=-1,x=0 D.x=0,答案 C f(x)=x4-2x2+3, 由f (x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0, 得x=0或x=1或x=-1. 又当x0, 当01时,f (x)0, x=0,1,-1都是f(x)的极值点.,C,1-2 (2019东北四校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极 小值,则
12、实数a的取值范围是 ( ) A.(-1,2) B.(-,-3)(6,+) C.(-3,6) D.(-,-1)(2,+),答案 B f (x)=3x2+2ax+a+6,由已知可得f (x)=0有两个不相等的实 数根,=4a2-43(a+6)0,即a2-3a-180,a6或a-3.,B,利用导数求函数的最值,典例4 (2018山东济南质检)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,解析 (1)f (x)=(x-k+1)ex. 令f (x)=0,得x=k-1. f(x)与f (x)随x的变化而变化的情况如下表:,所以, f(x)的单调
13、递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+). (2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0), f(0)=-k; 当0k-11,即1k2时, 由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0, 1上的最小值为f(k-1)=-ek-1; 当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.,规律总结 求函数f(x)在闭区间a,b内的最大值和最小值的思路 (1)若所给的闭区间a,b不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求
14、f (x)=0 在区间a,b内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f (a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给 的闭区间a,b含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断 函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.,2-1 设nN*,a,bR,函数f(x)= +b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切 线方程为y=x-1. (1)求a,b; (2)求f(x)的最大值.,利用导数求解函数的极值和最值的综合问题,典例5 已知函数f(x)=ax-1-ln x(aR). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数; (2)若函数
15、f(x)在x=1处取得极值,x(0,+), f(x)bx-2恒成立,求实数b 的取值范围.,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=a- = . 当a0时, f (x)0在(0,+)上恒成立,函数f(x)在(0,+)上单调递减,f (x)在(0,+)上没有极值点; 当a0时,由f (x)0得x , f(x)在 上递减,在 上递增,即f(x)在x= 处有极小值. 当a0时, f(x)在(0,+)上没有极值点,当a0时, f(x)在(0,+)上有一个极值点. (2)函数f(x)在x=1处取得极值, a=1,f(x)bx-21+ - b, 令g(x)=1+ - ,则g(x)= ,令g
16、(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减, 在(e2,+)上递增,g(x)min=g(e2)=1- ,即b1- ,即实数b的取值范围是.,易错警示 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下 结论. (3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还 要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后 借助图象观察得到函数的最值.,3-1 已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f
17、(x)在-3,3上的最小值.,解析 (1)f(x)=ax3+bx+c, 故f (x)=3ax2+b, 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16, 故有 即 化简得 解得,(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c, f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令f (x)=0,得x1=-2,x2=2. 当x(-,-2)时, f (x)0, 故f(x)在(-,-2)上为增函数; 当x(-2,2)时, f (x)0, 故f(x)在(2,+)上为增函数.,由此可知, f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c, f(x)在x=2处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,得c=12. 此时f(-3)=9+c=21, f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.,
