1、第二节 导数与函数的单调性,函数的导数与单调性的关系,教材研读,考点一 利用导数解决不含参数的函数的单调性的问题,考点二 利用导数解决含参数的函数的单调性的问题,考点三 利用导数解决函数单调性的应用问题,考点突破,教材研读,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f (x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .,提醒 由f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)可得f (x)0(0)在该区间 内恒成立,而不是f (x)0(0)恒成立,“=”不
2、能少,必要时还需对“=”进行 检验.,知识拓展 用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f (x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件. (2)f (x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件. (3)若f (x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f (x)0(0)是 f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f (x)0. ( ) (2)若函数f(x)在某个区间内恒有f (x)=0,则f(x)在此区间内没有
3、单调性. ( ) (3)在(a,b)内f (x)0,且f (x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. ( ),答案 (1) (2) (3),2.函数y=f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示,则下面判断正确的是 ( )A.在区间(-3,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.在区间(3,5)上f(x)是增函数,答案 C 由图象可知,当x(4,5)时, f (x)0,故f(x)在(4,5)上是增函数.,C,3.函数f(x)=cos x-x在(0,)上的单调性是 ( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递
4、增 D.单调递减,答案 D 在(0,)上, f (x)=-sin x-10,f(x)在(0,)上单调递减,故选 D.,D,4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+),答案 D 由f(x)=(x-3)ex,得f (x)=(x-2)ex, 令f (x)0,得x2,故f(x)的单调递增区间是(2,+).,D,5.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函数,则a的最大值是 .,答案 3,解析 f (x)=3x2-a,由题意知f (x)0在1,+)上恒成立,即a3x2在1, +)上恒成立,又x1,+)时,3x23,a3,即a
5、的最大值是3.,利用导数解决不含参数的函数的单调性的问题,考点突破,典例1 (2019河北唐山质检)求函数f(x)=ln x- x2+x- 的单调区间.,解析 因为f(x)=ln x- x2+x- , 且定义域为(0,+), 所以f (x)= -x+1=- . 令f (x)=0,得x1= ,x2= (舍去).,当x 时, f (x)0; 当x 时, f (x)0, 所以函数f(x)的单调递增区间为 , 单调递减区间为 .,方法技巧 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式
6、f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.,提醒 (1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极 易出错.如本例易忽视定义域为(0,+)而导致解题错误. (2)个别导数为0的点不影响函数在该区间上的单调性,如函数f(x)=x3, f (x)=3x20(x=0时, f (x)=0),但f(x)=x3在R上是增函数.,1-1 已知函数f(x)=xln x,则f(x) ( ) A.在(0,+)上单调递增 B.在(0,+)上单调递减 C.在 上单调递增 D.在 上单调递减,D,答案 D 因为函数f(x)=xln x, 所以f (x)=ln x+1(x0), 令f (x)0,解得x
7、, 即函数的单调递增区间为 ; 令f (x)0,解得0x , 即函数的单调递减区间为 ,故选D.,1-2 已知定义在区间(-,)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增 区间是 .,答案 和,解析 f (x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 令f (x)=xcos x0, 则其在区间(-,)上的解集为 和 , 即f(x)的单调递增区间为 和 .,利用导数解决含参数的函数的单调性的问题,典例2 设f(x)=ex(ax2+x+1)(a0),试讨论f(x)的单调性.,解析 f (x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1) =exax2+(2a+1)
8、x+2 =ex(ax+1)(x+2)=aex (x+2). 当a= 时, f (x)= ex(x+2)20恒成立, 函数f(x)在R上单调递增;当02,令f (x)=aex (x+2)0, 得x-2或x- , 令f (x)=aex (x+2)0, 得- x-2, 函数f(x)在 和(-2,+)上单调递增, 在 上单调递减;,当a 时,有 0,得x- 或x-2, 令f (x)=aex (x+2)0,得-2x- , 函数f(x)在(-,-2)和 上单调递增, 在 上单调递减.,易错警示 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响 进行分
9、类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的 点和函数的间断点.,2-1 讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性.,解析 f(x)的定义域为(0,+), f (x)= +2ax= . 当a1时, f (x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增; 当a0时, f (x)0,故f(x)在 上单调递减,在 上 单调递增.,利用导数解决函数单调性的应用问题 命题方向一 比较大小或解不等式,典例3 (1)若0ln x2-ln x1 B. - x1 D.x2 0时,有 0的解集是 .,C,答案 (1)C (2)(-,-2)(0,2),解析 (1)令f(x
10、)= ,则f (x)= = .当0x1 ,故选C. (2)令(x)= ,当x0时,(x)0,即f(x)0,在(2,+)内恒有(x)0,在(-2,0)内恒有f(x)0的解集, 即f(x)0的解集, x2f(x)0的解集为(-,-2)(0,2).,命题方向二 已知函数的单调性求参数 典例4 已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x,a0. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围.,解析 (1)h(x)=ln x- ax2-2x,x(0,+), 所以h(x)= -ax-2. 因
11、为h(x)在(0,+)上存在单调递减区间, 所以当x(0,+)时, -ax-2 - 有解. 令G(x)= - , 所以只要aG(x)min即可.,而G(x)= -1, 所以G(x)min=-1, 所以a-1且a0. (2)因为h(x)在1,4上单调递减, 所以当x1,4时,h(x)= -ax-20恒成立, 即a - 恒成立, 所以aG(x)max.,因为x1,4,所以 , 而G(x)= -1, 所以G(x)max=- (此时x=4), 所以a- 且a0.,探究1 (变问法)本例(2)中,若函数h(x)在1,4上单调递增,求a的取值 范围.,解析 因为h(x)在1,4上单调递增, 所以当x1,4
12、时,h(x)0恒成立, 所以当1,4时,a - 恒成立, 又当x1,4时, =-1(此时x=1),所以a-1,即a的取值范围是(- ,-1.,探究2 (变问法)本例(2)中,若h(x)在1,4上存在单调递减区间,求a的 取值范围.,解析 h(x)在1,4上存在单调递减区间, 则h(x) - 有解, 又当x1,4时, =-1, 所以a-1,又a0, 所以a的取值范围是(-1,0)(0,+).,探究3 (变问法)本例(2)中,若函数h(x)在1,4上不单调,求a的取值范围.,解析 h(x)在1,4上不单调, h(x)=0在(1,4)上有解, 即a= - = -1有解, 令m(x)= - ,x(1,
13、4), 则-1m(x)- , 实数a的取值范围为 .,方法技巧 1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为 先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式. 2.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f (x)0(或f (x) 0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值的问题, 求出参数的取值范围.,(2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f (x)0(或f (x)0(或f (x)min0)在该区间上有解,从而转 化为不等式问题,求
14、出参数的取值范围. (3)若已知f (x)在区间I上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的 单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.,3-1 已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导数f (x) ,则不等式f(x2)+ 的解集为 .,答案 (-,-1)(1,+),解析 由题意构造函数F(x)=f(x)- x, 则F(x)=f (x)- , f (x)1, 即x(-,-1)(1,+).,3-2 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在区间(1,+)上为增函数,求a的取值范围; (2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围; (3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.,解析 (1)因为f (x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+)上为增函数,所以f (x)0 在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+) 上恒成立,所以a3,即a的取值范围是(-,3. (2)由题意得f (x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成 立.因为-10.f(x)=x3-ax-1,f (x)=3x2-a.由f (x)=0,得x= ,f(x) 在区间(-1,1)上单调递减, =1,即a=3.,
