1、第一节 函数及其表示,1.函数与映射的概念,2.函数的有关概念,3.分段函数,教材研读,考点一 函数的定义域,考点二 求函数的解析式,考点三 分段函数,考点突破,1.函数与映射的概念,教材研读,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函 数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.,(4)函数的表示法 表示函数的常用
2、方法: 解析法 、图象法、列表法. 提醒 判断两个函数是否相同,抓住两点:定义域是否相同;对应 关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.,3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组 成,但它表示的是一个函数. 提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函 数的定义域不可以相交.,知识拓展,1.常见的函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y=ax(a0且a1),y=sin
3、 x,y=cos x的定义域均为R. (5)y=tan x的定义域为 . (6)函数f(x)=x0的定义域为x|xR,且x0.,2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为 ,当a0且a1)的值域是(0,+). (5)y=logax(a0且a1)的值域是R.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点. ( ) (2)函数1f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数. ( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( ) (4)若
4、A=R,B=x|x0,f:xy=|x|,则对应关系f是从A到B的映射. ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的. ( ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2.下列图象中不能作为函数图象的是 ( ),B,答案 B,3.下面各组函数中为相等函数的是 ( ) A.f(x)= ,g(x)=x-1 B.f(x)=x-1,g(t)=t-1 C.f(x)= ,g(x)= D.f(x)=x,g(x)=,B,答案 B 若两个函数为相等函数,需它们的定义域、对应关系都相 同.对于选项A:因为f(x)= ,g
5、(x)=x-1的定义域都为R,但函数f(x)=|x- 1|,所以它们的对应关系不同,排除A;对于选项C:因为f(x)= ,g(x)= 的定义域分别为(-,-11,+),1,+),定义域不同,排除 C;对于选项D:因为f(x)=x,g(x)= 的定义域分别为R,x|x0,定义域不 同,排除D;对于选项B:因为f(x)=x-1,g(t)=t-1的定义域都为R,对应关系也 相同,所以它们是相等函数,选B.,4.函数f(x)= + 的定义域为 ( ) A.0,2) B.(2,+) C.0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+),C,答案 C 由题意得 解得x0且x2. 所以函数的定义域为0,2)(2
6、,+).,5.已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x0的值为 .,答案 2,解析 当x0时,f(x)=x2,则f(x0)=4,即 =4,解得x0=2,当x0时,f(x)=-x2, 则f(x0)=4, 即- =4,无解,所以x0=2.,6.设函数f(x)= 则f(f(3)= .,答案,解析 由题意知f(3)= ,f = +1= , 所以f(f(3)=f = .,考点突破,函数的定义域 命题方向一 求函数的定义域,典例1 (1)函数f(x)= +lg(6-3x)的定义域为 ( ) A.(-,2) B.(2,+) C.-1,2) D.-1,2 (2)已知函数y=f(x)的定义域是-2,3
7、,则y=f(2x-1)的定义域是 ( ) A. B.-1,4 C. D.-5,5,C,C,答案 (1)C (2)C,解析 (1)要使函数f(x)= +lg(6-3x)有意义,则 即-1x2.故 函数y=f(x)的定义域为-1,2). (2)函数y=f(x)的定义域为-2,3, -22x-13,即- x2, 即函数y=f(2x-1)的定义域为 .,探究1 (变条件)本例(2)中,若y=f(2x-1)的定义域为-2,3,如何求y=f(x) 的定义域?,解析 y=f(2x-1)的定义域为-2,3, -52x-15, 函数y=f(x)的定义域为-5,5.,探究2 (变条件)本例(2)中,若y=f(2x
8、-1)的定义域为-2,3,则y=f(3x+1) 的定义域是什么?,解析 y=f(2x-1)的定义域为-2,3, -52x-15, -53x+15, 即-2x . 函数y=f(3x+1)的定义域为 .,命题方向二 已知函数的定义域求参数 典例2 (1)(2019河北衡水联考)若函数y= 的定义域为R,则 实数m的取值范围是 ( ) A. B. C. D. (2)若函数f(x)= 的定义域为x|1x2,则a+b的值为 .,D,答案 (1)D (2)-,解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx2+4mx+30恒成立, 当m=0时,显然满足条件; 当m0时,由=(4m)2-4m30, 得0m ,由得
9、0m .,规律总结 函数定义域的求解策略 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式 (组)取交集时可借助数轴,要特别注意端点值的取舍. (2)求函数y=f(g(x)的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x) b即可求出y=f(g(x)的定义域;若y=f(g(x)的定义域为(a,b),则求出g(x)在 (a,b)上的值域即得f(x)的定义域. (3)已知函数的定义域求参数范围,可将问题化成含参的不等式(组)问,题,然后求解. 提醒 (1)求函数定义域时,先不要化简函数解析式; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.,1-1 函数f(
10、x)= +lg 的定义域为 ( ) A.(2,3) B.(2,4 C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6,C,答案 C 要使函数有意义,需满足 即 解得2x3或3x4,故选C.,1-2 已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f +f(x-1)的定义域 为 ( ) A.(-2,0) B.(-2,2) C.(0,2) D.,C,答案 C 由题意得 0x2,函数g(x)=f +f(x-1)的定义域为(0,2),故选C.,1-3 若函数y= 的定义域为R,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 由题意得ax2-4ax+20恒成立, 则a=0或 解得0a .,求函数的解析式
11、,典例3 (1)已知f =x2+ ,求f(x)的解析式; (2)已知f =lg x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的解析式; (4)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.,解析 (1)(配凑法)由于f =x2+ = -2, 所以f(x)=x2-2,x2或x-2,故f(x)的解析式是f(x)=x2-2,x2或x-2. (2)(换元法)令 +1=t得x= ,代入得f(t)=lg . 又x0,所以t1, 故f(x)的解析式是f(x)=lg ,x1. (3)(待定系数法)设f(x)=ax2+
12、bx+c(a0), 由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1.,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1. 所以 解得a=b= . 所以f(x)= x2+ x. (4)(解方程组法)由f(-x)+2f(x)=2x, 得f(x)+2f(-x)=2-x,2-,得3f(x)=2x+1-2-x, 即f(x)= . 所以f(x)的解析式是f(x)= .,方法技巧 求函数解析式的常用方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后 以x替
13、代g(x),即得f(x)的解析式. (2)换元法:已知函数f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令 g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范 围. (3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待,定系数法. (4)解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(-x)的等式,可根据已知条件再构 造出等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式.,2-1 已知y=f(x)是二次函数,若方程f(x)=0有两个相等实根,且f (x)=2x+ 2,求f(x)的解析式.,解析 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f (x)=2ax
14、+b=2x+2, 所以a=1,b=2,则f(x)=x2+2x+c. 因为方程f(x)=0有两个相等实根, 所以=4-4c=0, 解得c=1,故f(x)=x2+2x+1.,分段函数 命题方向一 求分段函数的函数值,典例4 (1)若函数f(x)= 则f(-2)+f(log212)= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 (2)已知f(x)= 则f(7)= .,C,答案 (1)C (2)6,解析 (1)-21,f(log212)= = =6, f(-2)+f(log212)=9. (2)79,f(7)=f(f(7+4)=f(f(11)=f(11-3)=f(8).又89,f(8)=f(f(12)=
15、 f (9)=9-3=6,即f(7)=6.,命题方向二 与分段函数有关的不等式问题,典例5 (2018课标全国,12,5分)设函数f(x)= 则满足f(x+1)f(2 x)的x的取值范围是 ( ) A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0),D,答案 D,解析 本题主要考查分段函数及不等式的解法. 函数f(x)= 的图象如图所示:由f(x+1)f(2x)得 得 x0,故选D.,命题方向三 求参数的值或取值范围问题,典例6 (1)已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为 . (2)设f(x)= 若f(a)=f(a+1),则f = .,答案 (1)-3 (
16、2)6,规律总结 分段函数问题的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间, 其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一 段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相 应段的自变量的取值范围.,3-1 已知f(x)= 则f = ( ) A.-2 B.-3 C.9 D.-9,答案 C f =log3 =-2,f =f(-2)= =9.,C,3-2 (2019福州模拟)已知函数f(x)= 若f(a)=3,则f(a-2)= ( ) A.- B.3 C.- 或3 D.- 或3,答案 A 当a0时,由f(a)=3,得log2a+a=3,解得a=2(满足a0);当a0时, 由f(a)=3,得4a-2-1=3,解得a=3,不满足a0,所以舍去.所以a=2.故f(a-2)=f (0)=4-2-1=- .故选A.,A,3-3 设函数f(x)= 若f(x0)1,则x0的取值范围是 .,答案 (0,2)(3,+),解析 依题意得 或 解得03.,
