1、第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,2.周期性,教材研读,考点一 判断函数的奇偶性,考点二 函数奇偶性的应用,考点三 函数的周期性,考点突破,考点四 函数性质的综合问题,1.函数的奇偶性,提醒 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.,教材研读,2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.,知识拓展 1.奇
2、(偶)函数定义的等价形式 (1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0 =1f(x)为偶函数,其中f(x)0. (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0 =-1f(x)为奇函数,其中f(x)0.,2.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶= 奇.,3.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0). (2)
3、若f(x+a)= ,则T=2a(a0). (3)若f(x+a)=- ,则T=2a(a0).,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. ( ) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( ) (3)若函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ),(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. ( ) (5)若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期. ( ) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)是周
4、期为2a的周期函 数. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2.下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x,答案 B 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原 点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项的定义域为(0,+),不具 有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.,B,3.f(x)=x3+sin x(xR) ( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,答案 B f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sin x=-
5、f(x),所以f(x)是奇函数.,B,4.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是 ( ) A.- B. C. D.-,答案 B 因为f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数, 所以a-1+2a=0, 所以a= . 又f(-x)=f(x), 所以b=0, 所以a+b= .,B,5.(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x2+ ,则f(-1)=.,答案 -2,解析 当x0时,f(x)=x2+ ,f(1)=12+1=2,又f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1) =-2.,6.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,
6、1)时, f(x)= 则f = .,答案 1,解析 f(x)是定义在R上的周期为2的函数, f =f =f =-4 +2=-4 +2=-1+2=1.,判断函数的奇偶性,考点突破,典例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= + ; (2)f(x)= ; (3)f(x)=,解析 (1)由 得x2=3,解得x= , 即函数f(x)的定义域为- , , f(x)= + =0. f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), 函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由 得函数的定义域为(-1,0)(0,1), 关于原点对称.,x-20, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);,
7、当x0时,-x0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x), 函数f(x)为奇函数.,规律方法 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以 首先考虑定义域; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f (-x)=0(偶函数)是否成立.,1-1 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+
8、sin x,答案 D A项为奇函数;B、C项为偶函数;D项是非奇非偶函数,选D.,D,1-2 函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a0且a1),则函数F(x)=f(x)+g (x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是 ( ) A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数 B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数 C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数 D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数,B,答案 B F(x),G(x)的定义域均为(-2,2), 由已知得F(-x)=f(-x)+g(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x), G(-x)=f(-x)-g
9、(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x), F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.,函数奇偶性的应用,典例2 (1)已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 (2)函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)=x+1,则当x0时,f(x)= .,答案 (1)B (2)x-1,B,解析 (1)设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所 以F(-a)=f(-a)-1=-F(a)=-1,从而f(-a)=0. (2)当x0,f(x)=-f(-
10、x)=-(-x+1),即当x0时, f(x)=-(-x+1)=x-1.,规律总结 利用函数的奇偶性可解决的4个问题 (1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性 求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于 参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数 的值. (4)画函数图象:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.,2-1 (一题多解)已知函数f(x)是奇函数,在(0,+)上是减函数,且在区间 a,b(ab0)上的值域为-3,4,则在区间-b,-
11、a上 ( ) A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最大值-3 D.有最小值-3,B,答案 B 解法一:根据题意作出y=f(x)的大致图象,由图知选B.解法二:当x-b,-a时,-xa,b, 由题意得f(b)f(-x)f(a),即-3-f(x)4, 所以-4f(x)3,即在区间-b,-a上f(x)min=-4, f(x)max=3.故选B.,2-2 (2019广州调研)已知函数f(x)= +a为奇函数,则实数a= .,答案 -,解析 易知f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f(x)为奇函数,所以f(-x) =-f(x),即 +a=- -a,所以2a=- - =- - =-1,所以a=
12、 - .,2-3 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1) = .,答案 3,解析 f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4, 由+得,2g(1)=6,即g(1)=3.,函数的周期性,典例3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)= 2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)= . (2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则 函数y=f(x)的图象在区间0,
13、6上与x轴的交点的个数为 .,答案 (1)1 008 (2)7,解析 (1)f(x+2)=f(x), 函数f(x)的周期T=2, 又当x0,2)时, f(x)=2x-x2, 所以f(0)=0, f(1)=1, 所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2 016)=0, f(1)=f(3)=f(5)=f(2 015)=1. 故f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=1 008.,(2)当0x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐 标分别为x1=0,x2=1. 当2x4时,0x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x), 所
14、以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3. 同理可得,当4x6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5. 当x7=6时,也符合要求. 综上可知,共有7个交点.,方法技巧 函数周期性的判断与应用 (1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可得函数是周 期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性 质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0) 也是函数的周期.,3-1 已知函数f(x)的定义域为R
15、.当x 时,f =f ,则f(6)等于 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2,答案 D 当x 时,f =f ,即周期为1, 则f(6)=f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.,D,函数性质的综合问题 命题方向一 单调性与奇偶性的综合问题,典例4 (2018武汉模拟)偶函数f(x)在(0,+)上单调递增,a=f ,b=f,c=f(log32),则下列关系式中正确的是( ) A.abc B.acb C.cab D.cba,D,答案 D,解析 log2 =-log23,0log321 =log2 log2 =log23,函数f(x)是偶 函数,且在(0,+)上单调递增, f(log32
16、)f(log2 )f(log23)=f(-log23)=f ,cba,故选D.,命题方向二 奇偶性与周期性的综合问题 典例5 (2018课标全国,12,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函 数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50,答案 C,C,解析 本题主要考查函数的奇偶性和周期性. f(x)是定义域为R的奇函数, f(0)=0,且f(-x)=-f(x), 又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x), 由得f(2+x)=-f(x), f(4+x)=-f(2+x), 由得f(
17、x)=f(x+4), f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x), 令x=1,得f(2)=f(0)=0; 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2; 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.,命题方向三 单调性、奇偶性与周期性的综合问题 典例6 定义在R上的函数f(x)满足:对任意的xR有f(x+4)=f(x);f(x) 在0,2上是增函数;f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是 ( )
18、 A.f(7)f(6.5)f(4.5) B.f(7)f(4.5)f(6.5) C.f(4.5)f(6.5)f(7) D.f(4.5)f(7)f(6.5),D,答案 D,解析 由知函数f(x)的周期为4,由知f(x+2)是偶函数,则有f(-x+2)=f(x +2),即函数f(x)图象的一条对称轴是x=2,由知函数f(x)在0,2上单调递 增,则在2,4上单调递减,又f(7)=f(3),f(6.5)=f(2.5),f(4.5)=f(0.5),由以上分 析可得f(0.5)f(3)f(2.5),即f(4.5)f(7)f(6.5),故选D.,规律总结 函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函
19、数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及 奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及 周期性进行变换. (3)x单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性 转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,4-1 (2018惠州第一次调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-,0上是 减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)2的解集为 ( ) A.(2,+) B. (2,+) C. ( ,+) D.( ,+),B,答案 B f(x)是R上的偶函数,且在(-,0上是减函数,所以f(x)在0,+ )上是增函数,因为f(1)=2,所以f(-1)=2,所以f(log2x)2f(|log2x|)f(1)| log2x|1log2x1或log2x2或0x .故选B.,
