1、第九节 函数模型及其应用,1.几种常见的函数模型,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤（四步八字）,教材研读,考点一 用函数图象刻画变化过程,考点二 应用所给函数模型解决实际问题,考点三 构建函数模型解决实际问题,考点突破,教材研读,1.几种常见的函数模型,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论
2、还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,知识拓展 形如f(x)=x+ (a0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(-,- )和( ,+)上单调递增,在- ,0)和(0, 上单调 递减. (2)当x0时,在x= 处取最小值2 , 当x0时,在x=- 处取最大值-2 .,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价, 若按九折出售,则每件还能获利. ( ) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. ( ) (3)不存在x0,使 logax0. ( ),(4)在(0,+)上,随着x的增大,y=ax
3、(a1)的增长速度会超过并远远大于y= x(0)的增长速度. ( ) (5)“指数爆炸”是比喻指数型函数y=abx+c(a0,b0,且b1)的增长 速度越来越快. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是 ( ),A.一次函数模型 B.幂函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型,答案 A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,A,3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:,则对x,y最适合的拟合函数是 ( ) A.y=2x B.y=x2-
4、1 C.y=2x-2 D.y=log2x,答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.,D,4.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与 燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为 ( ),答案 B 由题意知h=20-5t(0t4),故选B.,B,5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的 奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元
5、奖励,则他的销售额应为 万元.,答案 1 024,解析 依题意得 即 解得a=2,b=-2. 所以y=2log4x-2,当y=8,即2log4x-2=8时. x=1 024(万元).,6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形 的面积最大,则隔墙的长度为 .,答案 3,解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x- 3)2+18,当x=3时,S取最大值.,用函数图象刻画变化过程,考点突破,典例1 (1)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快 稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时
6、 间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关 系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的 是 ( ),B,(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 ( ),D,A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙 车更省油,答案 (1)B (2)D,解析 (1)由运输效率(单位时间的运输
7、量)逐步提高得曲线上的点的切 线斜率应该逐渐增大. (2)对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升 汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度 行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B 错;对于C选项:甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则 行驶1小时,消耗了汽油80110=8(升),则C错;对于选项D:速度在80 km/ h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对.,方法技巧 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模
8、型时,先建立函数模型,再 结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量 的变化特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,排除不符合实际的情 况,选择出符合实际情况的答案.,1-1 如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系 图,若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是 ( ),C,答案 C 由题图可知,张大爷的行走路线:开始一段时间离家越来越 远,然后有一段时间离家的距离不变,最后离家越来越近,C符合.,1-2 已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点 运动.设点P运动的路程为x,ABP的面积为
9、S,则函数S=f(x)的图象是( ),答案 D 依题意知当0x4时,f(x)=2x;当4x8时,f(x)=8;当8x12 时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求.,D,应用所给函数模型解决实际问题,典例2 (1)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称 为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足 函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上 述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( ),B,A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟,(2)一个容器装有细沙a cm3,
10、细沙从容器底部一个细微的小孔匀速漏出, t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的 沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.,答案 (1)B (2)16,解析 (1)由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上, 因此有 解得 故p=-0.2t2+1.5t-2, 其图象的对称轴方程为t=- = =3.75. 所以当t=3.75时,p取得最大值.,(2)依题意有ae-b8= a,所以b= , 所以y=a . 若容器中的沙子只有开始时的八分之一, 则有a = a,解得t=24, 所以再经过的时间为24-8
11、=16 min.,规律总结 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,2-1 某工厂生产某种产品的固定成本为2 000,并且每生产一单位产品, 成本增加10.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q- Q2,则总 利润L(Q)的最大值是 .,答案 2 500,解析 由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2 000 = -10Q-2 000=- (Q-300)2+2 500, 所以当Q=300时,L(Q)max=2 500.,2-2 某市家庭燃气的使用量x(m
12、3)和燃气费f(x)(元)满足关系式f(x)= 已知某家庭某年前三个月的燃气费如下表:若四月份该家庭使用了20 m3的燃气,则其燃气费为 元.,答案 11.5,解析 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=1 9,解得A=5,B= ,C=4,所以f(x)= 所以f(20)=4+ (20-5)=1 1.5. 故四月份煤气费为11.5元.,构建函数模型解决实际问题 命题方向一 构建二次函数模型,典例3 某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注 水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0t
13、24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少 吨? (2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24 小时内,有几小时出现供水紧张现象?,解析 (1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨, 则y=400+60t-120 , 令 =x,则x2=6t, 即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, 所以当x=6,即t=6时,ymin=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.,命题方向二 构建指数函数、对数函数模型 典例4 (1)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足 函数关系y=ekx+b
14、(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在 33 的保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时,(2)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全 年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增 长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,答案 (1)C (2)D,解析
15、 (1)由已知得192=eb, 48=e22k+b=e22keb, 将代入得e22k= ,则e11k= , 当x=33时,y=e33k+b=e33keb= 192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是 24小时.故选C. (2)设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n-1200,则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30,解得n , 又nN*,n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过20
16、0万元的年份是2021年.故选 D.,命题方向三 构建函数y=ax+ (a0,b0)模型 典例5 要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容 器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的 最低总造价是 元.,答案 160,解析 设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为x m, 则长方体的底面矩形的宽为 m,依题意得 y=204+10 =80+20 , 由基本不等式得y80+202 =160 当且仅当x= ,即x=2时取等号 , 所以该容器的最低总造价为160元.,命题方向四 构建分段函数模型 典例6 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通
17、状况.在 一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/ 千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成交通堵塞,此时 车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60 千米/小时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0x200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆 数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时),解析 (1)由题意可知当0x20时,v(x)=60;当20x200时,设v(x)=ax
18、 +b(a0), 显然v(x)=ax+b在20,200上是减函数, 由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为,v(x)= (2)依题意及(1)可得 f(x)= 当0x20时, f(x)为增函数, f(x)1 200,当20x200时, f(x)= x(200-x) = ,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立,所以,当x=100时, f(x)在区间20,200上取得最大值 . 综上,当x=100时, f(x)在区间0,200上取得最大值 3 333(辆/小 时), 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333 辆/小时.,规律方法 构建数学模型解决实际问题
19、时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清 数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程 中不要忽略实际问题对变量的限制.,3-1 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每 辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一 段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为 .,答案 5,解析 根据题图求得y=-(x-6)2+11, 年平均利润为 =12- , x+ 10,当且仅当x=5时等号成立. 要使平均利润最大,客车营运年数为5.,3-2 大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修 费20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季 节等因素的影响,专卖店销售总收益R(x)(单位:元)与门面经营天数x的 关系是R(x)= 则总利润最大时,该门面经营的天数 是 .,答案 300,解析 由题意得,总利润 y= 当0x400时,y=- (x-300)2+25 000, 所以当x=300时,ymax=25 000; 当x400时,y=60 000-100x20 000, 综上,当门面经营的天数为300时,总利润最大,为25 000元.,
