1、第二节 函数的单调性与最值,1.函数的单调性,2.函数的最值,教材研读,考点一 确定函数的单调性（区间）,考点二 函数单调性的应用,考点三 函数的最值问题,考点突破,教材研读,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 单调增函数或单调减函数 ,则称函数f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 提醒 (1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义 域. (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接. (3)“函数的单调区间M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概 念,显然NM.,
2、2.函数的最值,知识拓展 1.单调性定义的等价形式 设任意x1,x2a,b,x1x2. (1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,则f(x)在闭区间a,b上是增 函数. (2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,则f(x)在闭区间a,b上是减 函数.,2.复合函数的单调性 函数y=f(u),u=(x),在函数y=f(x)的定义域上,如果y=f(u),u=(x)的单调 性相同,那么y=f(x)单调递增;如果y=f(u),u=(x)的单调性相反,那么y=f (x)单调递减.,3.函数单调性的常用结论 (1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(
3、x)也是区间A上的增 (减)函数. (2)若k0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y= 的单调性相同.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( ) (2)若函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是1,+). ( ) (3)函数y= 的单调递减区间是(-,0)(0,+). ( ) (4)所有的单调函数都有最值. ( ),(5)若一个函数在定义域内的某几个子区间
4、上都是增函数,则这个函数 在定义域上是增函数. ( ) (6)闭区间上的单调函数,其最值一般在区间端点处取到. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2.函数y=f(x),x-4,3的图象如图所示,则下列说法正确的是( ) A. f(x)在-4,-1上是减函数,在-1,3上是增函数 B. f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2 C. f(x)在-4,1上有最小值-2,最大值3 D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时,-1t2,C,答案 C,3.下列函数中,在区间(0,+)内为增函数的是 ( ) A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D
5、y=log0.5(x+1),答案 A,A,4.函数f(x)=(x-1)2的单调递增区间是 ( ) A.0,+) B.1,+) C.(-,0 D.(-,1,答案 B,B,5.若函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,则 ( ) A.k B.k- D.k-,答案 D,D,6.(教材习题改编)已知函数f(x)= ,x2,6,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .,答案 2;,解析 可判断函数f(x)= 在2,6上为单调减函数,所以f(x)max=f(2)=2,f (x)min=f(6)= .,确定函数的单调性(区间) 命题方向一 求函数的单调区间,考点突破,典例1 函数f(x)=ln(x2
6、2x-8)的单调递增区间是 ( ) A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+),D,答案 D,解析 由x2-2x-80,得x4或x-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(- ,-2)(4,+).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+)上单调递增,由复合函数 的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+).,命题方向二 含参函数的单调性 典例2 判断并证明函数f(x)= (a0)在(-1,1)上的单调性.,解析 当a0时,函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a0时,函数f(x)在(-1,1)上递增. 证明如下:任取x1,x2(
7、1,1),且x1x2, f(x)=a =a .f(x1)-f(x2)=a -a = ,由于-1x1x21.,所以x2-x10,x1-10时,f(x1)-f(x2)0. 即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增.,方法技巧 1.求函数单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求 单调区间. (2)定义法,先求定义域,再利用单调性定义求解. (3)图象法,如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,那么可 由图象的直观性写出它
8、的单调区间. (4)导数法,利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,2.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x)为增函数;若一增一减,则y=f(g(x) 为减函数,即“同增异减”.,1-1 函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是( ) A.(-,0) B. C.0,+) D.,B,答案 B y=|x|(1-x)= = 函数的大致图象如图 所示.由图易知原函数在 上单调递增.故选B.,1-2 判断并证明
9、函数f(x)=ax2+ (其中1a3)在x1,2上的单调性.,解析 当a(1,3)时, f(x)在1,2上单调递增. 证明如下:任取x1,x21,2, 且x1x2,则任取x1,x21,2,且x1x2,则 f(x2)-f(x1)=a + - =(x2-x1) ,由1x10,20,所以f(x2)-f(x1)0, 即f(x2)f(x1), 故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.,函数单调性的应用 命题方向一 比较大小,典例3 已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2 -x1)ab B.cba C.acb D.bac,D,答案 D,解析 因为f(
10、x)的图象关于直线x=1对称,所以f =f .由当x2x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)f f(e),即f(2)f f(e),bac.,命题方向二 解不等式 典例4 已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范 围为 .,答案 (-,-1)(3,+),解析 函数f(x)为R上的增函数, 且f(a2-a)f(a+3), a2-aa+3,即a2-2a-30, 解得a3或a-1, 即a的取值范围为(-,-1)(3,+).,探究 若将本例中“R上的增函数”改为“(0,+)上的增函数”,则 实数a的取值范围是什么?,解析 由已知可得 解得-33,所以实数a
11、的取值范 围为(-3,-1)(3,+).,命题方向三 根据函数的单调性求参数 典例5 (1)已知函数f(x)= 满足对任意的实数x1x2都 有 0成立,则实数a的取值范围为 ( ) A.(0,1) B. C. D. (2)函数y= 在(-1,+)上单调递增,则a的取值范围是 .,C,答案 (1)C (2)(-,-3,解析 (1)根据题意知函数f(x)在定义域R上为减函数, 则 解得 a .故选C. (2)y= =1+ , 由题意知 解得a-3. a的取值范围是(-,-3.,规律方法 函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略 (1)比较大小:比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,
12、 然后利用函数的单调性解题. (2)解不等式:在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单 调性将“f ”符号脱掉,使其转化为求解具体的不等式.此时应特别注意 函数的定义域. (3)利用单调性求参数:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 提醒 (1)若函数在a,b上单调,则该函数在此区间的任意子区间也 是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接 点的取值.,2-1 若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)= 在区间1,2上都是减函数,则a的取 值范围是 ( ) A.(-1,0)(0,1) B.(-1,0)(0
13、1 C.(0,1) D.(0,1,D,答案 D 由f(x)=-x2+2ax在1,2上是减函数,可得1,2a,+),a1. 由g(x)= 在1,2上是减函数可得a0,故0a1.,2-2 已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)2,则实数x的取值范围是 .,答案 (- ,-2)(2, ),解析 因为函数f(x)=ln x+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以 由f(x2-4)2,得f(x2-4)f(1),所以0x2-41,解得- x-2或2x .,函数的最值问题,典例6 (1)函数y=2x-1- 的值域为 . (2)函数y= 的值域为 . (3)用mina,b,c
14、表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min4x+1,x+4,- x+8的最大值是 .,答案 (1) (2)(-1,1) (3)6,解析 (1)解法一:换元法. 令 =t,则t0,x= , 于是y=g(t)=2 -1-t =- t2-t+ =- (t+1)2+6, 显然函数g(t)在0,+)上是单调减函数, 所以g(t)g(0)= , 因此原函数的值域是 .,解法二:单调性法. 易知函数的定义域是 , 易证函数y=2x-1- 在其定义域上是一个单调增函数,所以当x= 时,函数取得最大值 , 故原函数的值域是 . (2)分离常数法.,y= = =-1+ , 1+2x1,0 2, -1-
15、1+ 1, 即-1 1, 函数y= 的值域为(-1,1). (3)在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象 后,取位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示,不难看出函数f(x)在x=2时取得最大值,为6.,方法技巧 求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条 件后用基本不等式求出最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点
16、值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求最值.,3-1 函数f(x)= 的最大值是 .,答案 2,解析 当x1时,函数f(x)= 为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f (1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f (x)的最大值为2.,3-2 已知函数y= + 的最大值为M,最小值为m,则 的值为 .,答案,解析 由 得函数的定义域是x|-3x1, y2=4+2 =4+2 , 当x=-1时,y取得最大值,M=2 ; 当x=-3或1时,y取得最小值,m=2, 所以 = .,3-3 函数f(x)= 在区间a,b上的最大值是1,最小值是 ,则a+b= .,答案 6,解析 易知f(x)= 在a,b上为减函数,所以 即 所以所以a+b=6.,
