1、第八节 函数与方程,1.函数零点的定义,2.函数零点的判定（零点存在性定理）,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤,教材研读,考点一 函数零点所在区间的判断,考点二 判断函数零点的个数,考点三 函数零点的应用,考点突破,教材研读,1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y= f(x)有 零点 .,2.函数零点的判定(零点存在性定理) 一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一
2、条曲线,并 且有 f(a)f(b)0 ,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存 在c(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是方程f(x)=0的根.我们 把这一结论称为零点存在性定理. 提醒 (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不 能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异 号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证 f(a)f(b)
3、0 ,给定精确度. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算 f(x1) : (i)若 f(x1)=0 ,则x1就是函数的零点; (ii)若 f(a)f(x1)0 ,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); (iii)若 f(x1)f(b)0 ,则令a=x1(此时零点x0(x1,b). 第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则, 重复第二、三、四步.,知识拓展 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零 点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能
4、变号,也可能不变号. (4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. (5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0. ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点. ( ),答案 (1) (2) (3) (4),2.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的 是 ( ),答案 C 对于选
5、项C,由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符 号是相同的,故不能用二分法求解.,C,3.已知函数y=f(x)的图象是连续的曲线,且有如下的对应值表:,则函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间 (2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6上至少有3个零点.故选B.,B,4.在下列区间中,函数f(x)=3x-x2有零点的是 ( ) A.0,1 B.1,2 C.-2,-1 D.-1,0,答案 D f(0)=1, f(1)=2,f(0)f(1)0; f(1)
6、=2,f(2)=5,f(1)f(2)0; f(-2)=- , f(-1)=- ,f(-2)f(-1)0; f(0)=1, f(-1)=- ,f(0)f(-1)0, 易知-1,0符合条件,故选D.,D,5.函数f(x)=ex+3x的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 B 函数f(x)=ex+3x在R上是增函数, f(-1)= -30, f(-1)f(0)0, 函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内,故选B.,B,6.若函数f(x)=ax+b有一个零点,是2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是 .,答案 0,-,解析 由题意知2a+b=0,则b=-2a.令g(x)=bx
7、2-ax=0,得x=0或x= =- ,所以 g(x)的零点为0,- .,函数零点所在区间的判断,考点突破,典例1 (1)设函数f(x)= x-ln x,则函数y=f(x)( ) A.在区间 ,(1,e)内均有零点 B.在区间 ,(1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点,D,(2)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点 分别位于区间 ( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内,
8、答案 (1)D (2)A,A,解析 (1)解法一:令f(x)=0,得 x=ln x.作出函数y= x和y=ln x的图象,如 图,显然y=f(x)在 内无零点,在(1,e)内有零点.故选D.,解法二:当x 时,函数图象是连续的,且f (x)= - = 0,f(1)= 0,f(e)= e-10, f(b)=(b-c)(b-a)0, 由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间 (a,b),(b,c)内,故选A.,方法技巧 确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=0易
9、解时,可先解方程,然后看求得的根是 否落在给定区间上. (2)图象法:把方程转化为两个函数,看它的交点所在区间. (3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是 否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交 点来判断.,1-1 若x0是方程 = 的解,则x0属于区间 ( ) A. B. C. D.,C,答案 C 令g(x)= , f(x)= , 则g(0)=1f(0)=0,g = f = , 由图象关系(图略)可得 x0 .,判断函数零点的个数,典例2
10、 (1)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若a满足x+lg x=4,b满足x+10x=4,函数f(x)= 则关于 x的方程f(x)=x的解的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 (1)C (2)C,C,C,解析 (1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+).在同一平面直角坐标系中 画出函数y1=|x-2|(x0),y2=ln x(x0)的图象,如图所示:由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. (2)由已知,得lg x=4-x,10x=4-x.在同一平面直角坐标系中作出y=10x,y=lg x,以及y
11、=4-x的图象,其中y=10x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y =4-x的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)= 当x0时,由x2+ 4x+2=x,得x=-1或x=-2;当x0时,x=2,所以方程f(x)=x的解的个数是3.,方法技巧 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点; (2)零点存在性定理; (3)利用图象交点的个数. 特别地,若已知f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个熟悉的函数 的图象有几个交点问题,数形结合求解.,2-1 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,B,答案 B 易知函数f
12、(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|= = 的根的个数函数y1=|log0.5x|与y2= 的图象的交点个数.作出两个函 数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.,2-2 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0,1时, f(x)=x,则 函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 ( ) A.8 B.4 C.3 D.2,B,答案 B 由题意知, f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的大致图象,如图. 观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零
13、点.,函数零点的应用 命题方向一 根据函数零点个数求参数,典例3 已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是 ( ) A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+),答案 C,C,解析 令h(x)=-x-a, 则g(x)=f(x)-h(x). 在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的大致图象,如图所示.,若y=g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y= h(x)的图象,可知 当直线y=-x-a过点(0,1)时,两图象有2个交点, 此时1=-0-a,a=-1. 当y=-x-a在y=-
14、x+1上方,即a-1时,两图象有2个交点, 符合题意. 综上,a的取值范围为-1,+).故选C.,命题方向二 根据函数零点的范围求参数,典例4 函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围 是 ( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2),C,答案 C,解析 因为函数f(x)=2x- -a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x- -a的 一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,所 以0a3.,方法技巧 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法:直接根据题设条
15、件构建关于参数的不等式,再通过解不等式 确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的 图象,然后数形结合求解.,3-1 已知函数f(x)= 则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取 值范围是 ( ) A.0,1) B.(-,1) C.(-,0 D.(-,0(1,+),答案 D 函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根,令h(x)=f(x) +x,画出h(x)= 的大致图象(图略). 由观察知当m0或m1时,函数图象与直线y=m有交点,即函数g(x)=f(x)+ x-m有零点.,D,3-2 已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m 的取值范围是 .,答案,
