1、第六节 对数与对数函数,1.对数的概念,2.对数的性质与运算法则,3.对数函数的图象与性质,4. 反函数,教材研读,考点一 对数式的化简与求值,考点二 对数函数的图象及其应用,考点三 对数函数的性质及应用,考点突破,教材研读,1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果 ax=N(a0,且a1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.,(2)几种常见的对数,2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质= N ;logaaN= N .(a0且a1) (2)对数的重要公式 换底公式: logbN = (a,b均大于0且不等于1); 相关
2、结论:logab= ,logablogbclogcd= logad (a,b,c均大于0且不等 于1,d大于0).,(3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)= logaM+logaN ; loga = logaM-logaN ; logaMn= nlogaM (nR); lo Mn= logaM(m,nR,且m0).,3.对数函数的图象与性质,提醒 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a1两种情况进行讨论.,4.反函数 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数 y=logax (a0,且a1)互为 反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.,知识拓展
3、 对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函 数图象交点的横坐标为相应的底数,故0cd1ab.由此我们可得到以 下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)loga(MN)=logaM+logaN. ( ) (2)logaxlogay=loga(x+y). ( ) (3)函数y=log2x及y=lo (3x)都是对数函数. ( ) (4)对数函数y=logax(a0,且a1)在(0,+)上是增函数. ( ) (5)函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同. ( ),(6)对数函数y=logax(a0
4、,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1), , 函数图象只经过第一、四象限. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2.化简:log29log34= ( ) A. B. C.2 D.4,答案 D log29log34= = =4.,D,3.(教材习题改编)若lg 2=a,lg 3=b,则lg 12的值为 ( ) A.a B.b C.2a+b D.2ab,答案 C 因为lg 2=a,lg 3=b,所以lg 12=lg(43)=2lg 2+lg 3=2a+b.,C,4.函数y=log2x2的大致图象是 ( ),答案 D 令f(x)=y=log2x2, f(-x)=
5、log2(-x)2=log2x2=f(x), y=log2x2的图象关于y轴对称,故选D.,D,5.(2018课标全国,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= .,答案 -7,解析 由f(3)=1得log2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.,6.(教材习题改编)函数y=loga(4-x)+1(a0,且a1)的图象恒过点 .,答案 (3,1),解析 当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1).,对数式的化简与求值,考点突破,典例1 计算:(1)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2; (2) ; (3
6、)(log32+log92)(log43+log83).,解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5 =(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2. (2)原式= = =- .,(3)原式=log32log43+log32log83+log92log43+log92log83 = + + + = + + + = = .,规律方法 对数运算的求解思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、
7、差、倍数运算,然后逆用对数的运 算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.,1-1 若lg x+lg y=2lg(2x-3y),则lo 的值为 .,答案 2,1-2 已知log23=a,3b=7,则lo 2 的值为 .,答案,解析 因为3b=7,所以log37=b.又log23=a, 所以lo 2 =lo = = = = .,1-3 设2a=5b=m,且 + =2,则m等于 .,答案,解析 由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m, 所以 + =logm2+logm5=logm10. 因为 + =2,所以logm10=2. 所以m2=10,所以m= .,对数函数的图象及其应用
8、,典例2 (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是 ( )(2)当00且a1),则a的取值范围是 ( ) A. B. C.(1, ) D.( ,2),C,B,答案 (1)C (2)B,解析 (1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-,1),排除A,B;函数y=2log4(1-x) 在定义域上单调递减,排除D.故选C. (2)易知0 ,解得a , a1,故选B.,探究 (变条件)若本例(2)变为方程4x=logax(a0且a1)在 上有 解,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 若方程4x=logax(a0且a1)在 上有解,则函数y=4x和函数y= logax的图象在 上有交点,
9、由图象知 解得0a .,方法技巧 对数函数图象的应用方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数的图象问题,利用数 形结合法求解.,2-1 函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ),A,答案 A 当a1时,函数y=logax的图象为选项B,D中的曲线,此时函数y =-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a1,选项B,D中的图象都不 符合要求;当0a1时,函数y=logax的图象为选项A,C中的曲线,此时函数 y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0a1,选项A中的图象符 合要求,选项C中的图象不符合要求.,对数函数的性质及应用 命题方向一 对
10、数函数的单调性,典例3 (1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo ,则a,b,c的大小 关系为 ( ) A.abc B.bac C.cba D.cab,D,(2)设函数f(x)= 若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是 ( ) A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+) C.(-1,0)(1,+) D.(-,-1)(0,1),C,答案 (1)D (2)C,解析 (1)由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln 2ab,故选D. (2)解法一:若a0,则-alo alog2alog2 a a1. 若a0, lo (-a)log2(-
11、a)log2 log2(-a)- -aa-1.-1a0. 综上可知a(-1,0)(1,+). 解法二:特殊值验证.,令a=2, f(2)=log22=1, f(-2)=lo -(-2)=-1, 满足f(a)f(-a),故排除A、D. 令a=-2, f(-2)=lo -(-2)=-1, f(-(-2)=f(2)=1, 不满足f(a)f(-a),故排除B.,命题方向二 对数型函数的性质的应用 典例4 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请 说明理由.,解析 (1)
12、因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,所以a+5=4,所以a=-1,此时f(x)=log 4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+30得-1x3,即函数f(x)的定义域为(-1,3). 令t=-x2+2x+3,x(-1,3), 则t=-x2+2x+3在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4t在(0,+)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1, 单调递减区间是(1,3).,(2)存在.理由如下:假设存在实数a,使f(x)的最小值为0. 令h(x)=ax2+2x+3,则h(x)有最小值1, 因此应有 解得a= . 故存在实数a= ,使f(x)的最小值
13、为0.,规律方法 1.比较对数值的大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数 为同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,2.解对数不等式的类型及方法 (1)形如logaxlogab(a0且a1)的不等式,借助y=logax的单调性求解,如 果a的取值不确定,那么需分a1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.,3-1 设a=log3,b=log2 ,c=log3 ,则 ( ) A.abc B.acb C.bac D.bc
14、a,答案 A a=log3log33=1, b=log2 b. = = =(log23)21,且b,c0, bc,故选A.,3-2 已知函数f(x)=loga(3-ax). (1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最 大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.,解析 (1)设t(x)=3-ax,因为a0且a1, 则t(x)=3-ax为减函数, 则x0,2时,t(x)的最小值为3-2a, 当x0,2时,f(x)恒有意义, 即x0,2时,3-ax0恒成立.,所以3-2a0,所以a0且a1, 所以a(0,1) . (2)不存在.理由如下:令t(x)=3-ax,因为a0,且a1, 所以函数t(x)为减函数. 因为f(x)在区间1,2上为减函数, 所以y=logat(x)为增函数,所以a1,当x1,2时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a), 所以 即 故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大 值为1.,
