1、第四节 二次函数与幂函数,1.二次函数,2.幂函数,教材研读,考点一 幂函数的图象和性质,考点二 求二次函数的解析式,考点三 二次函数的图象与性质,考点突破,教材研读,1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 (i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0); (ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0); (iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). (3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,提醒 注意二次项系数对函数性质的影响,经常对二次项系数分大于 零与
2、小于零两种情况讨论.,2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y=x 的函数称为幂函数,其中x是 自变量 ,为 常数 . (2)五种常见幂函数的图象,(3)幂函数的性质 (i)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都经过点 (0,0) 、(1,1).,b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都经过点 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小. (4)五种常见幂函数的性质,知识拓展 一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”. (2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充
3、要条件是“a0且0”.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数y=2 是幂函数. ( ) (2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( ) (3)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xa,b的最值一定是 . ( ) (5)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xR不可能是偶函数. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(教材习题改编)已知幂函数f(x)=kx的图象过点 ,则k+= ( ) A. B.1 C. D.2,答案 C 因为f(x)=kx是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点
4、 , 所以 = ,所以= ,所以k+=1+ = .,C,3.幂函数f(x)=x(是有理数)的图象过点 ,则f(x)的一个单调递减区 间是 ( ) A.0,+) B.(0,+) C.(-,0 D.(-,0),答案 B 由题意得 =2,解得=-2,所以f(x)=x-2,单调递减区间为(0,+ ).,B,4.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为 ( )A.cba B.abc C.bca D.acb,答案 D,D,5.函数y=x2+ax+6在 上是增函数,则a的取值范围为 .,答案 -5,+),解析 y=x2+ax+6在 上是增函数,由题意得-
5、 ,a-5.,6.函数g(x)=x2-2x(x0,3)的值域为 .,答案 -1,3,解析 由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,得g(x)在0,1上是减函数,在1,3上 是增函数. 所以g(x)min=g(1)=-1,因为g(0)=0,g(3)=3. 所以g(x)在x0,3上的值域为-1,3.,幂函数的图象和性质,考点突破,典例1 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( ),C,(2)当x(0,+)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为 ( ) A.-2 B.1 C.1或-2 D.m (3)若a= ,b= ,c=
6、,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.cab C.bca D.bac,B,D,答案 (1)C (2)B (3)D,解析 (1)设幂函数的解析式为y=f(x)=x, 幂函数f(x)的图象过点(4,2), 2=4,解得= . f(x)= ,其定义域为0,+),且是增函数, 当0x1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,知选C. (2)因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+)上的减函数,所以 解得m=1.,(3)因为y= 的图象在第一象限内是上升的,所以a= b= ,因为y=是减函数,所以a= c= ,所以bac.,规律总结 幂函数的性质与图象特征的关系 (1
7、)幂函数的形式是y=x(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件 即可确定其解析式. (2)若幂函数y=x(R)是偶函数,则必为偶数.当是分数时,一般先将 其化为根式,再判断. (3)若幂函数y=x(R)在(0,+)上单调递增,则0;若在(0,+)上单调 递减,则0.,1-1 幂函数y=f(x)的图象经过点(3, ),则f(x)是 ( ) A.偶函数,且在(0,+)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+)上是增函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+)上是减函数,答案 C 设幂函数为f(x)=x,把点(3, )代入,得 =3,解得= ,所以f (x)= ,可知函
8、数为奇函数,在(0,+)上单调递增.,C,1-2 若(a+1 (3-2a ,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 易知函数y= 的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以解得-1a .,求二次函数的解析式,典例2 (1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0, 0)和(-2,0),且函数有最小值-1,则f(x)= . (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2, 并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.,答案 (1)x2+2x,解析 (1)设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a0), 所以f(x)=ax
9、2+2ax, 由题意得 =-1, 解得a=1,所以f(x)=x2+2x. (2)f(2+x)=f(2-x)对任意xR恒成立, f(x)图象的对称轴为直线x=2. 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2, f(x)=0的两根为1和3.,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0), f(x)的图象过点(4,3), 3a=3,a=1, 所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3.,方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当 选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:,2-1 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(
10、a,bR),xR,若函数f(x)的最小值为f (-1)=0,则f(x)= .,答案 x2+2x+1,解析 设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a, 又f(x)=ax2+bx+1, a=1,b=2, 故f(x)=x2+2x+1.,2-2 若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4, 则f(x)= .,答案 -2x2+4,解析 由f(x)是偶函数知, f(x)的图象关于y轴对称, -a=- ,即b=-2, f(x)=-2x2+2a2, 又f(x)的值域为(-,4,2a2=4, 故f(x)=-2x2+4.,二次函数的图象与性质 命
11、题方向一 二次函数的图象,典例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对 称轴为x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5ab. 其中正确的结论是 ( ) A. B. C. D.,B,答案 B,解析 因为二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac0,即b24ac, 正确;对称轴为x=-1,即- =-1,所以2a-b=0,错误;结合图象,当x=-1时,y 0,即a-b+c0,错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下, 所以a0,所以5a2a,即5ab,正确,故选B.,命题方向二 二次函数的单调性 典例4 已知
12、函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. (1)求使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数的实数a的取值范围; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a, 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6. 故a的取值范围是(-,-64,+).,(2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|+3 = 画出f(|x|)的图象(图略). f(|x|)的减区间是-4,-1)和0,1),增区间为-1,0)和1,6.,探究1 (变条件)若函数f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函
13、数,求a的取 值范围.,解析 f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数, -a-4,即a4.,探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),则a为何值?,解析 f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+), -a=-4,即a=4.,命题方向三 二次函数的最值问题 典例5 设函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR,求函数f(x)的最小值.,解析 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR,函数图象的对称轴为x=1. 当t+11,即t0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间t,t+1上为减函 数,所以最小值为f(t+1)=t2
14、+1; 当t1t+1,即0t1时,函数图象如图(2)所示,在x=1处取得最小值,最 小值为f(1)=1;,当t1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间t,t+1上为增函数,所以最 小值为f(t)=t2-2t+2. 综上可知, f(x)min=,规律总结 1.确定二次函数图象应关注的三个要点: 一是看二次项系数的符号,它决定二次函数图象的开口方向; 二是看图象的对称轴,它决定二次函数图象的具体位置; 三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交 点,函数图象的最高点或最低点等. 从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图 象中得到如上信息.,2.
15、对于二次函数的单调性,关键看图象的开口方向与对称轴的位置,若图 象的开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解. 3.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间 定、轴定区间动.无论哪种类型,解题的关键都是图象的对称轴与区间 的位置关系,当含有参数时,要依据图象的对称轴与区间的位置关系进 行分类讨论.,3-1 已知abc0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( ),D,答案 D A项,易知a0,c0,而f(0)=c0,b0. 又abc0,c0,故B错. C项,易知a0,- 0.又abc0, c0,而f(0)=c0,- 0,b0,c0,而f(0)=c0,故选
16、D.,3-2 已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间-1,2上有最大值4,求实数a的值.,解析 f(x)=a(x+1)2+1-a. 当a=0时,函数f(x)在区间-1,2上的值为常数1,不符合题意,舍去; 当a0时,函数f(x)在区间-1,2上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a= ; 当a0时,函数f(x)在区间-1,2上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=- 3. 综上可知,a的值为 或-3.,三个“二次”间的转化,典例6 已知函数f(x)=x2-x+1,在区间-1,1上不等式f(x)2x+m恒成立,求 实数m的取值范围.,解析 f(x)2x+m等价于x2-x
17、+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m, 要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在- 1,1上的最小值大于0即可.,g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减, g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-10得m-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).,方法技巧 1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三 个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问 题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数 思想研究方程、不等式(尤其是恒成
18、立)问题是高考命题的热点.,2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种思路解题,关 键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,a f(x)恒成立af(x)min.,4-1 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,则实数a 的取值范围为 .,答案,解析 2ax2+2x-30在-1,1上恒成立. 当x=0时,-30,成立; 当x0时,a - , 令g(x)= - ,x-1,0)(0,1, 当x=1时,g(x)取最小值 ,a . 综上,实数a的取值范围是 .,
