1、高考大题专项一 函数与导数的综合压轴大题,考情分析,必备知识,从近五年的高考试题来看,对导数在函数中应用的考查常常是一大一小两个题目,其中解答题的命题特点是:以二次或三次函数、对数函数、指数函数及分式函数为命题载体,以切线问题、单调性问题、极值最值问题、恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件,与参数的范围、不等式的证明,方程根的分布综合成题,重点考查应用分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想及化归与转换思想来分析问题、解决问题的能力.,考情分析,必备知识,1.常见恒成立不等式 (1)ln xx+1. 2.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(
2、f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数等,把不等式两边变成具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x); (4)放缩法:若所构造函数的最值不易求解,可将所证明的不等式进行放缩,再重新构造函数.,考情分析,必备知识,3.函数不等式的类型与解法 (1)任意xD,f(x)kf(x)maxk; (2)存在xD,f(x)kf(x)mink; (3)任意xD,f(x)g(x)f(
3、x)maxg(x)min; (4)存在xD,f(x)g(x)f(x)ming(x)max.,考情分析,必备知识,4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略 (1)任意x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值; (2)存在x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值; (3)任意x1a,b,存在x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值; (4)存在x1a,b,任意x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)
4、在c,d上的最大值; (5)存在x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域的交集非空;,考情分析,必备知识,(6)任意x1a,b,存在x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域; (7)任意x2c,d,存在x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,利用导数求极值、最值、参数范围 题型一 讨论函数极值点的个数 例1设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.,题
5、型五,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间极值最值恒成立问题的步骤: 1.求函数定义域; 2.求导通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”); 3.对参数分类,分类的层次: (1)按导函数的类型分大类; (2)按导函数是否有零点分小类; (3)在小类中再按导函数零点的大小分小类; (4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练1(2018湖南衡阳一模,21改编)已知函数f
6、(x)=ln x+x2-ax (a0).讨论f(x)在(0,1)上的极值点的个数.,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型二 求函数的极值、最值 例2(2018宁夏银川一中一模,21)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)求函数y=f(x)在a2,a上的最大值.,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.,-1
7、6-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练2已知函数f(x)=ln x- ax2+x,aR. (1)当a=0时,求函数f(x)的图像在(1,f(1)处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)-ax+1,求函数g(x)的极值.,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型三 求参数的值 例3(2018全国2,理21)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.,解 (1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10. 设函数g(x)=
8、(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;,-19-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)内递减,在(2,+)内递增.,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.,-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练
9、3(2018辽宁凌源一模,21改编)已知函数f(x)=xex.若直线y=x+2与曲线y=f(x)的交点的横坐标为t,且tm,m+1,求整数m所有可能的值.,解 由题可知,原命题等价于方程xex=x+2在xm,m+1上有解, 由于ex0,所以x=0不是方程的解,所以直线y=x+2与曲线y=f(x)的交点仅有两个,且两交点的横坐标分别在区间1,2和-3,-2内,所以整数m的所有可能的值为-3,1.,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型四 已知函数有极值求参数范围 例4(2018山西吕梁一模,21改编)已知函数 .若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.,-23-,题型一
10、,题型二,题型三,题型四,题型五,设H(x)=ex-ax,则H(x)=ex-a0,H(1)=e-a0, 所以H(x)=ex-ax在x(0,1)有唯一解x0. 所以有:,所以当ae时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一. 当ae时,当x(0,1)时,f(x)0恒成立,f(x)递增, f(x)在(0,1)内无极值. 综上,a的取值范围为(e,+).,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得f(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3, f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f(x)=
11、0有解,由此得出a的范围,还必须由a的范围验证f(x)在(0,1)内有极值.,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练4(2018北京丰台一模,20改编)已知函数f(x)=ex-a(ln x+1) (aR).若函数y=f(x)在 上有极值,求a的取值范围.,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-27-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型五 在函数不等式恒成立中求参数范围 例5(2018河北衡水中学金卷一模,21改编)若关于x的不等式ax2ex+xex +1ex在区间(-,0上恒成立,求实数a的取值范围.,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五
12、,-29-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得1.在f(x)0的情况下,讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求f(x)最小值解不等式f(x)min0得a的范围合并a的取值范围. 2.若任意x0,f(x)0恒成立,求a的取值范围,即求当x0,f(x)0恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围时有“当x0,f(x)0”,或者能够说明“a取什么范围f(x)0”,为此还要研究f(x)在(0,+)上的单调性.,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练5(2018福建龙岩4月质检,21改编)已知函数f(x
13、)=(x-2)ex-a(x+2)2.当x0时,恒有f(2x)+4a+20成立,求a的取值范围.,解 设h(x)=f(2x)+4a+2, 则h(x)=(2x-2)e2x-a(2x+2)2+4a+2,且h(0)=0. 因为h(x)=(4x-2)e2x-8ax-8a,得h(x)=8xe2x-8a(x0), 且函数h(x)在0,+)上是增加的. ()当-8a0时,即a0时,有h(x)0,此时函数h(x)在0,+)上是增加的,则h(x)h(0)=-2-8a, 若-2-8a0,即a- 时,h(x)在0,+)上是增加的,则h(x)h(0)=0,符合题意; 若-2-8a0满足h(x0)=0,x(0,x0),h
14、(x)0,此时函数h(x)在(0,x0)上是减少的,h(x)h(0)=0不符合题意;,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,()当-8a0时,有h(0)=-8a0满足h(x1)=0,x(0,x1), h(x1)0,此时h(x)在(0,x1)上是减少的,h(x)h(0)=-8a-20, 此时函数h(x)在(0,x1)上是减少的,不符合题意. 综上,实数a的取值范围是a,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,利用导数证明问题及讨论零点个数 题型一 利用导数证明不等式 例1(2018河北保定二模,21)已知函数 (a,bR且a0,e为自然对数的底数). (1)若曲线f(x)在
15、点(e,f(e)处的切线斜率为0,且f(x)有极小值,求实数a的取值范围; (2)当a=b=1时,证明:xf(x)+20.,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,当a0时,当x(0,e)时,f(x)0,当x(e,+)时,f(x)0, f(x)在(0,e)内是减少的,在(e,+)内是增加的,即f(x)有极小值而无极大值.a0,即实数a的取值范围为(-,0).,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-36-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max. 证明f(x)g(x)(xI,I是区间),
16、只需证明f(x)ming(x)max,或证明f(x)ming(x)max且两个最值点不相等.,-37-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-38-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-39-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型二 判断、证明或讨论函数零点个数 例2(2018全国2,文21)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.,-40-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-41-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用
17、导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图像,根据函数零点个数的要求,控制极值点函数值的正负,从而解不等式求出参数的范围.,-42-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练2(2018山东济宁一模,21改编)已知函数f(x)=aln x+ x2 (aR).当a0时,证明函数g(x)=f(x)-(a+1)x恰有一个零点.,-43-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,当a=1时,g(x)0恒成立,g(x)在(0,+)上递增. 又g(1)= -20, 所以当a=1时函数g(x)恰有一个零点. 当a1时,由g(x)0得0a,由g(x)0, 当a1时函数g(x)恰有一个零点
18、. 综上,当a0时,函数g(x)=f(x)-(a+1)x恰有一个零点.,-44-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型三 与函数零点有关的证明问题 例3(2018福建宁德质检二,21)已知函数f(x)=x3-3ax2+4(aR). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有三个零点,证明:当x0时,f(x)6(a-a2)ea.,解 (1)由f(x)=x3-3ax2+4,则f(x)=3x2-6ax=3x(x-2a), 令f(x)=0,得x=0或x=2a, 当a=0时,f(x)0,f(x)在R上是增函数; 当a0时,令f(x)0,得x2a, 所以f(x)在(-,0),(2a,+)
19、上是增加的, 在(0,2a)上是减少的. 当a0,得x0或x2a, 所以f(x)在(-,2a),(0,+)上是增加的, 在(2a,0)上是减少的.,-45-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)由(1)可知,当a=0时,f(x)在R上是增函数,此时函数f(x)不可能有三个零点; 当a0,则函数f(x)不可能有三个零点; 当a0时,f(x)min=f(2a)=4-4a3, 要满足f(x)有三个零点,则需4-4a31, 当x0时,要证明f(x)6(a-a2)ea等价于要证明f(x)min6(a-a2)ea. 即要证4-4a36(a-a2)ea. 由于a1,故等价于证明1+a+a2 aea
20、. 证明:构造函数g(a)=3aea-2-2a-2a2(a(1,+), g(a)=(3+3a)ea-2-4a,-46-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,令h(a)=(3+3a)ea-2-4a, h(a)=(6+3a)ea-40,函数h(a)在(1,+)递增, 则h(a)min=h(1)=6e-60, 函数g(a)在(1,+)递增. 则g(a)min=g(1)=3e-60, 则有1+a+a2 aea, 故有f(x)6(a-a2)ea.,-47-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0,证明的思路一般对条件
21、等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等)再结合函数图像来解决.,-48-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练3(2018四川绵阳南山中学二模,21改编)已知函数f(x)=aln x-bx-3(aR且a0),当a=1时,设g(x)=f(x)+3,若g(x)有两个相异零点x1,x2,求证:ln x1+ln x22.,-49-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明 当a=1时,g(x)=f(x)+3=ln x-bx,函数的定义域为x0, 设x1x20, g(x1)=0,g(x2)=0,ln x1-bx1=0,ln x2-bx2=0, ln
22、 x1-ln x2=b(x1-x2),ln x1+ln x2=b(x1+x2). 要证ln x1+ln x22,即证b(x1+x2)2,-50-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型四 已知零点个数求参数范围 例4已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解 (1)f(x)的定义域为(-,+), f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). ()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,-ln a)递
23、减,在(-ln a,+)递增.,-51-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-52-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,令h(x)=1-x-ex,h(x)=-1-ex0;当x(0,+)时,g(x)0, 所以g(x)在(-,0)递增,在(0,+)递减. 所以g(x)g(0)=1. 又当x-时,g(x)-;当x+时,g(x)0. 所以a的取值范围为(0,1).,-53-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-54-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-55-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路: (1)分类讨论法:分类
24、讨论就是将所有可能出现的情况进行分类,然后逐个论证,它属于完全归纳. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.,-56-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练4(2018衡水中学月考,21改编)已知函数g(x)= +aln x,若关于x的方程g(x)=a有实数根,求实数a的取值范围.,-57-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-58-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型五 利用导数解决存在性问题 例5(2018四川内江一模,21)已知函数f(x)=e
25、x-ax-1(aR). (1)讨论f(x)的单调性; (2)设a1,是否存在正实数x,使得f(x)0?若存在,请求出一个符合条件的x,若不存在,请说明理由.,解 (1)f(x)的定义域为R,f(x)=ex-a,当a0时,f(x)0, 故f(x)在R上递增; 当a0时,令f(x)=0,得x=ln a,当xln a时,f(x)0,故f(x)递增, 综上所述,当a0时,f(x)在R上递增; 当a0时,f(x)在(-,ln a)上递减,在(ln a,+)上递增.,-59-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)存在正数x=2lna,使得f(x)0, 即f(2lna)=a2-2alna-10,其
26、中a1. 证明如下: 设g(x)=x2-2xlnx-1(x1),则g(x)=2x-2lnx-2. 设u(x)=x-lnx-1(x1),则u(x)=1- 1 0,故u(x)在(1,+)上递增. u(x)u(1)=0, 故g(x)=2x-2lnx-2=2u(x)0. g(x)在(1,+)上递增,故g(x)g(1)=0. 当a1时,a2-2alna-10, f(2lna)=a2-2alna-10.,-60-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解题心得本例(2)中,利用导数的方法易得f(x)=ex-ax-1在x=ln a有最小值,存在正实数x使得f(x)0ex-ax-10exax+1,分别作出函
27、数y=ex和y=ax+1的图像,当xln a时,y=ex的图像增长的快速,所以当x=2ln a时,函数y=ex的图像一定在y=ax+1的图像上面,如下图所示,所以取x=2ln a,然后证明.,-61-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练5(2018河南安阳一模,21)已知函数 g(x)=3eln x,其中e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性. (2)是否存在实数a,b,使f(x)ax+bg(x)对任意x(0,+)恒成立?若存在,试求出a,b的值;若不存在,请说明理由.,-62-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-63-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,
