1、第十四章 推理与证明,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 合情推理与演绎推理 考点2 直接证明与间接证明 考点3 数学归纳法,考法1 合情推理 考法2 演绎推理 考法3 直接证明 考法4 间接证明 考法5 数学归纳法的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 归纳不当,文科数学 第十四章：推理与证明,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第十四章：推理与证明,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,本章是高考的热点,一般以选择题或填空题的形式考查合情推理和演绎推理, 分值5分;直接证明、间接证明和数学归纳法一般以
2、函数、不等式、数列等为背景进行考查,题型以解答题为主,综合性较强. 2.学科核心素养 本章主要考查考生的逻辑推理素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 合情推理与演绎推理 考点2 直接证明与间接证明 考点3 数学归纳法,文科数学 第十四章：推理与证明,考点1 合情推理与演绎推理（重点）,1.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:,（续表）,文科数学 第十四章：推理与证明,2.演绎推理 演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,它是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:,文科数学 第十四章：推理与证明,考点2
3、直接证明与间接证明（重点）,1.直接证明,（续表）,得到一个明显 成立的条件,QP1,P1P2,文科数学 第十四章：推理与证明,2.间接证明反证法 (1)定义 一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫作反证法. (2)适用范围 否定性命题; 命题的结论中出现 “至少” “至多” “唯一”等词语;,文科数学 第十四章：推理与证明,命题成立非常明显,直接证明可用的理论太少,且不容易证明,而其逆否命题非常容易证明; 正面证明要讨论的情况很复杂,而反面证明情况很简单.注意 反设命题时常用词语的否定
4、详见P011一些常见词语的否定总结.,文科数学 第十四章：推理与证明,考点3 数学归纳法（难点）,一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2) (归纳递推)假设当n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法.,注意 (1)两个步骤缺一不可.(2)初始值n0不一定是1.(3)证明当n=k+1时命题成立一定会用到归纳假设,即假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,解题时要特别注意从n=k到n=k
5、+1增加了哪些项或减少了哪些项.,B考法帮题型全突破,考法1 合情推理 考法2 演绎推理 考法3 直接证明 考法4 间接证明 考法5 数学归纳法的应用,考法1 合情推理,1.归纳推理的应用 示例1 2019湖南省长郡中学月考聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 2 2 3 = 2 2 3 , 3 3 8 = 3 3 8 , 4 4 15 = 4 4 15 , 5 5 24 = 5 5 24 ,则按照以上规律,若9 9 = 9 9 具有“穿墙术”,则n= A.25 B.48 C.63 D.80
6、 思维导引 观察已知四个等式的特点,即可得出其规律,从而求出n的值.,解析 由2 2 3 = 2 2 3 , 3 3 8 = 3 3 8 , 4 4 15 = 4 4 15 , 5 5 24 = 5 5 24 , (观察各个等式的特征,根号内与根号外、分子、分母的数字特点) 可得若9 9 = 9 9 具有“穿墙术”,则n=92-1=80.答案 D,文科数学 第十四章：推理与证明,方法总结 1.归纳推理的常见类型及求解策略 (1)数的归纳.包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳.主要包
7、括图形数目归纳和图形变化规律归纳,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系.,文科数学 第十四章：推理与证明,2.运用归纳推理的思维步骤,文科数学 第十四章：推理与证明,2.类比推理的应用 示例2 在正项等差数列an中有 41 + 42 + 60 20 = 1 + 2 + 100 100 成立,则在正项等比数列bn中,类似的结论为 .,思维导引 利用等差数列和等比数列的性质,类比等差数列的结论,即可得等比数列的类似的结论. 解析 由等差数列的性质知, 41 + 42 + 60 20 = 10( 41 + 60 ) 20 = 1 + 100 2 , 1 + 2 + 100 100 = 50( 1 +
8、100 ) 100 = 1 + 100 2 , 所以 41 + 42 + 60 20 = 1 + 2 + 100 100 .,文科数学 第十四章：推理与证明,在正项等比数列bn中,类似的有:20 41 42 43 60 = 20 ( 41 60 ) 10 = 20 ( 1 100 ) 10 = 1 100 , (“和”类比“积”,“算术平均数”类比“几何平均数”)100 1 2 3 100 = 100 ( 1 100 ) 50 = 1 100 , 所以 20 41 42 43 60 = 100 1 2 3 100 , 所以在正项等比数列bn中,类似的结论为 20 41 42 43 60 =10
9、0 1 2 3 100 .,文科数学 第十四章：推理与证明,感悟升华 1.类比推理常见类型及求解关键 (1)类比定义从定义出发求解. (2)类比性质从特殊式子、特殊图形的性质入手,深入思考二者的转化过程. (3)类比方法处理问题的方法具有类比性,注意知识的迁移. 类比推理常见的情形有平面与空间类比,低维的与高维的类比,等差数列与等比数列类比,数的运算与向量的运算类比,圆锥曲线间的类比等.,文科数学 第十四章：推理与证明,2.类比推理的一般步骤,定类,找出两类对象之间可以确切表述的相似特征,推测,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个命题(猜想),文科数学 第十四章：推理与证明,拓展变
10、式1 我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a, b, c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中,AOB=BOC=COA=90,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面OAB,OAC,OBC的面积,则下列选项中对于S,S1,S2,S3满足的关系描述正确的为（ ） A.S2= 1 2 + 2 2 + 3 2 B.S2= 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 C.S=S1+S2+S3 D.S= 1 1 + 1 2 + 1 3,文科数学 第十四章：推理与
11、证明,答案A 解析 如图D 15-1,作ODBC于点D,连接AD,由立体几何知识知,ADBC,从S2=( 1 2 BCAD)2= 1 4 BC2AD2= 1 4 BC2(OA2+OD2) = 1 4 (OB2+OC2)OA2+ 1 4 BC2OD2= ( 1 2 OBOA)2+ ( 1 2 OCOA)2+ ( 1 2 BCOD)2= 1 2 + 2 2 + 3 2 .故选A.,图D 15-1,文科数学 第十四章：推理与证明,考法2 演绎推理,示例3 2017全国卷,7,5分文甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,
12、给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩,解析 依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩.答案 D,文科数学 第十四章：推理与证明,感悟升华 演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论.应用三段论解决问题时,应当首先明确什
13、么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略,如果大前提不明确,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. (2)演绎推理常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.,文科数学 第十四章：推理与证明,拓展变式2 2018南昌市三模为培养学生分组合作的能力,现将某班分成A,B,C三个小组,甲、乙、丙三位同学分到不同组,某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在B组中的那位同学的成绩与甲不一样,在A组中的那位同学的成绩比丙低,在B组中的那位同学的成绩比乙低.若甲、乙、丙三位同学按数学建模考试成绩由高到低排序,则排序正确的是( ) A.甲、丙、乙 B.乙、甲、丙 C.乙、丙、甲
14、 D.丙、乙、甲,文科数学 第十四章：推理与证明,答案 C 解析 依题意,由 “在B组中的那位同学的成绩与甲不一样,在B组中的那位同学的成绩比乙低”得知B组中的那位同学是丙,故丙的成绩比乙低.又在A组中的那位同学的成绩比丙低,所以A组中的那位同学是甲.因此甲、乙、丙三位同学按数学建模考试成绩由高到低排序正确的是乙、丙、甲,故选C.,文科数学 第十四章：推理与证明,考法3 直接证明,示例4 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2 1 3 .思维导引 利用基本不等式进行整理变形,然后利用x+y+z=1即可得证. 解析 x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz, 2x2+2y2+2z
15、22xy+2xz+2yz, 3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz, 即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2. x+y+z=1,(x+y+z)2=1, 3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2 1 3 .,点评 综合法是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件,经过推理论证推导出正确结论,属于由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就需要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确.,文科数学 第十四章：推理与证明,感悟升华 1.综合法证题的思路与方法,2.分析法证题的思路逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正
16、确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.在解决实际问题时,常把分析法和综合法结合起来运用,通常用分析法探索证明途径,然后用综合法加以证明,对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.,文科数学 第十四章：推理与证明,拓展变式3 (1)设x1,y1,证明:x+y+ 1 1 + 1 +xy; (2)1abc,证明:logab+logbc+logcalogba+logcb+logac. 解析 (1)由于x1,y1, 所以要证明x+y+ 1 1 + 1 +xy, 只要证明xy(x+y)+1y+x+(xy)2,
17、只要证明(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)0, 只要证明(xy-1)(xy+1-x-y)0, 只要证明(xy-1)(x-1)(y-1)0. 由于x1,y1,上式显然成立,所以原命题成立.,文科数学 第十四章：推理与证明,(2)设logab=x,logbc=y,则logca= 1 lo g lo g = 1 ,logba= 1 ,logcb= 1 ,logac=xy, 所以要证明不等式logab+logbc+logcalogba+logcb+logac,即证x+y+ 1 1 + 1 +xy. 因为cba1,所以x=logab1,y=logbc1, 由(1)知所要证明的不等式成立.,文科数
18、学 第十四章：推理与证明,考法4 间接证明,示例5 已知函数f(x)=ax+sinb- 3 +1 (a,bR,且a1)的图象过点(0,-1). (1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数; (2)用反证法证明:函数f(x)没有负零点.思维导引 (1)利用函数f(x)的图象过定点(0,-1),求出sin b的值;欲证函数f(x)在(-1,+)上为增函数,只需证在(-1,+)上,f(x)0. (2)假设函数f(x)有负零点x0,利用函数的单调性得出矛盾,即可说明假设不成立,从而证出函数f(x)没有负零点.,解析 (1)由于函数f(x)=ax+sinb- 3 +1 (a,bR,且a1)的图象过
19、点(0,-1), 所以f(0)=-1,即a0+sin b- 3 0+1 =-1,解得sin b=1, 所以f(x)=ax+1- 3 +1 (a1), 所以f(x)=axlna+ 3 (+1) 2 (x-1), 所以当x(-1,+)时, f (x)0, 故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.,文科数学 第十四章：推理与证明,(2)解法一 假设函数f(x)有负零点x0, (“没有”的反面是“有”,注意不要漏掉“负”字) 则f(x0)=0,故 0 +1= 3 0 +1 .(研究等式是否成立) 由于函数y=ax+1(a1)在R上是增函数,且a0+1=2, 所以 0 +13, (判断等式右边的取值范围
20、) 所以等式不可能成立.,文科数学 第十四章：推理与证明,由于函数y= 3 +1 在(-,-1)上是减函数, 当x0(-,-1)时, 3 0 +1 1,所以等式不可能成立. 综上可得,等式不可能成立,即假设错误,故函数f(x)没有负零点. 解法二 假设函数f(x)有负零点x0,则f(x0)=0,故 0 +1= 3 0 +1 . 由于函数y=ax+1(a1)在R上是增函数,且a0+1=2,所以 0 +12,所以1 0 +12, 所以1 3 0 +1 2,解得 1 2 x02. 这与x00相矛盾,所以假设不成立,故函数f(x)没有负零点.,答题模板 用反证法证明数学命题的步骤应用反证法时,当原命题
21、的结论的反面有多种情况时,要对结论的反面的每一种情况都进行讨论,从而达到否定结论的目的.,文科数学 第十四章：推理与证明,拓展变式4 等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ 2 ,S3=9+3 2 . (1)求数列an的通项an与前n项和Sn; (2)设bn= (nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,解析 (1)由已知得 1 = 2 +1, 3 1 +3=9+3 2 , d=2, 故an=2n-1+ 2 ,Sn=n(n+ 2 ).,文科数学 第十四章：推理与证明,(2)由(1)得bn= =n+ 2 . 假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等
22、比数列,则 2 =bpbr. 即(q+ 2 )2=(p+ 2 )(r+ 2 ). (q2-pr)+ 2 (2q-p-r)=0. p,q,rN*, 2 =0, 2=0. ( + 2 )2=pr,(p-r)2=0. p=r.与pr矛盾. 数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.,文科数学 第十四章：推理与证明,C方法帮素养大提升,易错 归纳不当,易混易错,示例6 如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n1,nN)个点,相应的图案中总的点数记为an,则 + + + =( )A. B. D.,解析 观察图形可知,每个图形中每条边上有n个点,所以3条边上有3n个点, 又三角形图形的3个顶点重复计数了一次,所以an=3n-3,( 也可由a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,观察得出an=3n-3) 则 = = = - , 则 + + + =( - )+( - )+( - )+( - )=1- = .(利用裂项相消法求和). 答案 C,文科数学 第十四章：推理与证明,易错警示 解此类图形推理问题,易错之处是看不懂图形信息,找不出变化规律导致归纳不当.解决本题的关键是利用图形关系及变化,归纳得出an=3n-3,然后利用裂项相消法求和.,文科数学 第十四章：推理与证明,
