1、第十五章 数系的扩充与复数的引入,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 复数的有关概念 考点2 复数的四则运算,考法1 复数的概念 考法2 复数的运算 考法3 复数的几何意义,B考法帮题型全突破,C.方法帮素养大提升,方法 解决复数问题的实数化思想,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本章是高考的热点,主要考查复数的有关概念和复数的四则运算,一般出现在选择题的前3题中,比较简单,属于送分题,分值5分. 2.学科核心素养 本章通过复数的有关概念和四则运算考查考生的数学运算素养和等价转化思想的应用.,聚焦核心素养,A考点
2、帮知识全通关,考点1 复数的有关概念 考点2 复数的四则运算,考点1 复数的有关概念（重点）,1.复数的有关概念,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,续表,易错点拨 (1)一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要虚部不为0. (2)两个不全是实数的复数不能比较大小. (3)互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,2.复数的几何意义,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,考点2 复数的四则运算（重点）,1.复数的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR):,2.复数的运算律 对任意的z1,z2,z3
3、C:,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,3.复数加、减运算的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数z1,z2对应的向量 1 , 2 不共线,则复数z1+z2是以 1 , OZ 2 为两邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数z1-z2是 1 - 2 = 2 1 所对应的复数.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,B考法帮题型全突破,考法1 复数的概念 考法2 复数的运算 考法3 复数的几何意义,考法1 复数的概念,示例1 (1)2019广东六校联考已知i是虚数单位,复数(1+2i)2的共轭复数的虚部为 A.4i B.3 C.4 D.-4 (
4、2)2017天津,9,5分文已知aR,i为虚数单位,若 2+ 为实数,则a的值为 .,思维引导 (1)根据复数的运算法则求出(1+2i)2的共轭复数,即可得所求;(2)根据复数的除法法则,先把 i 2+i 化简成x+yi(x,yR)的形式,然后令y=0即可求解.也可以引进参数,利用复数相等的定义列方程组求解.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,解析 (1)复数z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,所以 =-3-4i,所以复数 的虚部为-4,故选D. (2)解法一 因为 i 2+i = (i)(2i) (2+i)(2i) = (21)(+2)i 5 = 21 5 - +
5、2 5 i为实数,所以 +2 5 =0,解得a=-2. 解法二 令 i 2+i =t(tR),则a-i=t(2+i)=2t+ti, 所以 =2, =1, 解得a=-2.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,示例2 若i(x+yi)=3+4i(x,yR),则复数x+yi的模是 A.2 B.3 C.4 D.5思维导引 根据复数的运算法则和模长的计算公式求解.,解析 解法一 因为i(x+yi)=3+4i,所以x+yi= 3+4i i = (3+4i)(i) i(i) =4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 4 2 +(3 ) 2 =5.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,解法二
6、 因为i(x+yi)=3+4i,所以(-i)i(x+yi)=(-i)(3+4i)=4-3i,即x+yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 4 2 +(3 ) 2 =5. 解法三 因为i(x+yi)=3+4i,所以|i(x+yi)|=|3+4i|,所以|i|x+yi|=5,所以|x+yi|=5. 解法四 因为i(x+yi)=3+4i,所以-y+xi=3+4i, 所以x=4,y=-3,故|x+yi|=|4-3i|= 4 2 +(3 ) 2 =5.,答案 D,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,技巧点拨 求解与复数概念相关问题的技巧 (1)复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概
7、念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需先把所给复数化为a+bi(a,bR)的形式,再根据题意列方程(组)求解. (2)求复数的模时,直接根据复数的模的公式|a+bi|= 2 + 2 和性质| |=|z|,|z2|=| |2=z ,|z1z2|=|z1|z2|,| 1 2 |= | 1 | | 2 | 进行计算. (3)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,注意 (1)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部;(2)无论一个复数是实数还是虚数,都要保证这个复数的实部和虚部有意义.,
8、文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,拓展变式1 (1)2019广东六校联考已知复数z= 1i 2+i ,其中i为虚数单位,则|z|=( ) A. 5 3 B. 10 3 C. 5 5 D. 10 5,答案 D 解析 复数z= 1i 2+i = (1i)(2i) (2+i)(2i) = 13i 5 = 1 5 - 3i 5 ,根据复数模长公式得到|z|= ( 1 5 ) 2 +( 3 5 ) 2 = 10 5 .故选D.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,(2)2019惠州市一调复数 5 i2 的共轭复数是( ) A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i,答案 B 解
9、析 5 i2 = 5(i2) (i2)(i2) =-2-i,所以其共轭复数为-2+i,故选B.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,(3)2018长春市第四次质量监测若复数z= 1+i 1+i 为纯虚数,则实数a的值为( ) A.1 B.0 C.- 1 2 D.-1,答案 D,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,解析 解法一 依题意得z= (1+i)(1i) (1+i)(1i) = (1+)+(1)i 1+ 2 为纯虚数,于是有 1+ 1+ 2 =0, 1 1+ 2 0, 解得a=-1,故选D. 解法二 依题意,设z= 1+i 1+i =bi(b0,bR),则有1+i=(1+a
10、i)bi=-ab+bi,于是有 =1, =1, 解得a=-1,故选D.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,考法2 复数的运算,示例3 (1)2018全国卷,1,5分 1+2i 12i = A.- 4 5 - 3 5 i B.- 4 5 + 3 5 i C.- 3 5 - 4 5 i D.- 3 5 + 4 5 i (2)已知复数z=1+ 2i 1i ,则1+z+z2+z2 018= A.1+i B.1-i C.i D.0 (3)2017山东,2,5分文已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= A.-2i B.2i C.-2 D.2,思维导引 (1)利用复数的除法法则求解;
11、(2)先对复数z进行化简,再根据等比数列的求和公式或借助in(nN)的周期性求解;(3)先利用复数的除法法则求z,再平方或者两边直接平方即可.解析 (1)由题意得 1+2i 12i = (1+2i)(1+2i) (12i)(1+2i) =- 3 5 + 4 5 i. (2)解法一 (根据等比数列的前n项和公式求解)因为z=1+ 2i 1i =1+ 2i(1+i) 2 =i,所以1+z+z2+z2018= 1(1 2019 ) 1 = 1 i 2019 1i = 1 i 4504 i 3 1i =i.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,解法二 (利用周期性求解)因为z=1+ 2i 1i
12、 =1+ 2i(1+i) 2 =i,所以1+z+z2+z2018=1+i+i2+i2 018=504(1+i-1-i)+1+i-1=i. (3)解法一 由z= 1+i i =1-i,得z2=(1-i)2=-2i. 解法二 由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,则-z2=2i,即z2=-2i. 答案 (1)D (2)C (3)A,点评 (1)区分(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,bR)与(a+b)2=a2+2ab+b2(a,bR); (2)区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bR)与(a+b)(a-b)=a2-b2(a,bR).,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入
13、,感悟升华 1.在复数的代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,把含有虚数单位i的项看作一类同类项,不含i的项看作另一类同类项;除法运算则需要分母实数化,解题中注意要把i的幂化成最简形式. 2.复数运算中的常用结论 (1)(1i)2=2i, 1+i 1i =i, 1i 1+i =-i. (2) +i i =b-ai. (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN).,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,拓展变式1 (1) 2 1i -(1+i)2 =( )A.1+i B.-1+i C.1-i
14、 D.-1-i,答案 C 解析 由题意得 2 1i -(1+i)2=1+i-2i=1-i.故选C.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,(2)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为 ,则|(1-z) |=( ) A. 10 B.2 C. 2 D.1,答案 A 解析 依题意得(1-z) =(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z) |=|-3+i|= (3 ) 2 + 1 2 = 10 .故选A.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,考法3 复数的几何意义,示例4 (1)2018北京,2,5分文在复平面内,复数 1 1i 的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B
15、.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)2016全国卷,1,5分文已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3),思维导引 把复数化简为z=x+yi(x,yR)的形式,对应复平面内的点(x,y),即可求解.,解析(1) 1 1i = 1+i 2 = 1 2 + 1 2 i ,其共轭复数为 1 2 - 1 2 i,对应的点为( 1 2 ,- 1 2 ). (2)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以 +30, 10, 解得-3m1. 答案 (1)D (2)A
16、,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,感悟升华 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步,进行简单的复数运算,将复数化为标准的代数形式; 第二步,把复数问题转化为复平面内的点之间的关系,依据是复数a+bi(a,bR)与复平面上的点(a,b)一一对应.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,拓展变式 (1)在复平面内与复数z= 2i 1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A,则点A对应的复数为( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i,答案 B 解析 因为z= 2i 1+i = 2i(1i) (1+i)(1i) =i(1-i)=1+i,所以点A的坐标为(1,-1),
17、其对应 的复数为1-i.故选B.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,(2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若 = + ,(,R),则+的值是 .,答案 1 解析 由题意得 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1),由 = + ,得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),所以 +=3, 2=4, 解得 =1, =2. 所以+=1.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,C方法帮素养大提升,方法 解决复数问题的实数化思想,思想方法,方法 解决复数问题的实数化思想 示例 已知x,y为共轭复数,
18、且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.思维导引 (1)x,y为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利用复数相等,将复数问题转化为实数问题.,解析 设x=a+bi(a,bR),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i, 根据复数相等得 4 2 =4, 3( 2 + 2 )=6, 解得 =1, =1 或 =1, =1 或 =1, =1 或 =1, =1. 故所求复数为 =1+i, =1i 或 =1i, =1+i 或 =1+i, =1i 或 =1i, =1+i.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,素养提升 (1)解决复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把x,y用复数的基本形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数问题求解.,文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引入,
