1、第二讲 函数的基本性质,第二章：函数的概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 函数的单调性与最值 考点2 函数的奇偶性 考点3 函数的周期性,考法1 确定函数的单调性（单调区间）,考法2 函数单调性的应用,考法3 求函数的最值（值域）,考法4 判断函数的奇偶性,考法5 函数奇偶性的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错1 忽略函数的定义域致误,考法6 函数周期性的判断及应用,考法7 函数性质的综合应用,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,易错2 混淆“函数的单调区间“与”函数在区间上单调”致误,考情精解读,命
2、题规律 聚焦核心素养,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,本讲是高考的重点,常考查求函数的单调区间,判断函数的单调性,利用单调性比较大小、解不等式,有时也将单调性、奇偶性与函数图象、函数零点相结合进行考查,题型有选择题、填空题,也有解答题,难度中等. 2.学科核心素养 本讲通过函数单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想,以及考生的逻辑推理和数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 函数的单调性与最值,考点2 函数的奇偶性,考点3 函数的周期性,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.单调函数的定
3、义及几何意义,考点1 函数的单调性与最值（重点）,名师提醒,1.函数的单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即x1x2);三是属于同一个区间,三者缺一不可. 2.求函数单调区间或讨论函数单调性时,必须先求函数的定义域. 3.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接. 4.“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.函数的最值,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考点2 函数的奇偶性（重点）,函数奇偶性的概念和性质,注意 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)
4、=0,xD.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考点3 函数的周期性（重点）,1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.,注意 并不是周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.,B考法帮题型全突破,考法1 确定函数的单调性（单调区间） 考法2 函数单调性的应用 考法3 求函数的最值（值域） 考法4 判断函数的
5、奇偶性 考法5 函数奇偶性的应用 考法6 函数周期性的判断及应用 考法7 函数性质的综合应用,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法1 确定函数的单调性（单调区间）,示例1 判断下列函数的单调性: (1)f(x)= 3 4+3 (x0); (2)f(x)= 2 2 3 . 思维导引 先对已知函数式进行变形转化,变成几个基本初等函数式的组合形式,再利用已知函数的单调性及单调性的有关性质来判断函数的单调性即可.,解析 (1)(性质法)f(x)= 3 4+3 =x2-4+ 3 ,而函数y=x2-4及y= 3 在(-,0)上都是减函数,则f(x)= 3 4+3 在(-,0)上是减函数.,(2)
6、(性质法)因为f(x)= 2 2 3 =2x- 3 , 且函数的定义域为(-,0)(0,+),(求定义域) 而函数y=2x和y=- 3 在区间(-,0)上均为增函数, 根据单调函数的运算性质,可得f(x)=2x- 3 在区间(-,0)上为增函数. 同理,可得f(x)=2x- 3 在区间(0,+)上也是增函数. (分类讨论) 故函数f(x)= 2 2 3 在区间(-,0)和(0,+)上均为增函数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例2 已知函数f(x)= 2 23 ,则该函数的单调递增区间为 A.(-,1 B.3,+) C.(-,-1 D.1,+) 思维导引 求函数的定义域研究函数t
7、=x2-2x-3的单调性求函数f(x)的单调递增区间,解析 (复合法)设t=x2-2x-3,由t0,即x2-2x-30,解得x-1或x3. 所以函数的定义域为(-,-13,+).(先求函数的定义域) 因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-,-1上单调递减,在3,+)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为3,+). 答案 B,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 判断函数单调性和求单调区间的方法 (1)定义法.一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论. (2)图象法.如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定
8、单调性. (3)导数法.先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间. (4)性质法. 对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”的性质进行判断. (5)复合法.对于复合函数,先将函数fg(x)分解成f(x)和g(x),再讨论(判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: （1）f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. （2）f(x)与af(x)在a0时具有相同的
9、单调性,在a0时具有相反的单调性. （3）当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数；;若两者都恒大于零,则f(x)g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则 f(x)g(x)是减(增)函数. （4）当f(x)恒不为0时,函数f(x)与 1 () 单调性相反. （5）当f(x)非负时,f(x)与 () 具有相同的单调性.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式1 函数f(x)=( 1 2 ) 2 的单调递增区间为 A.(-, 1 2 B.0, 1 2 C. 1 2 ,+) D. 1 2 ,1,（6）对于复合函数y=fg(x),若y=f(t)与t=g
10、(x)单调性相同,则y=fg(x)为增函数,若y=f(t)与t=g(x)单调性相反,则y=fg(x)为减函数,即“同增异减”.,1.D令t= 2 ,由x-x20,求得0x1,故函数的定义域为0,1.因为g(t)=( 1 2 )t是减函数,所以f(x)的单调递增区间即t= 2 的单调递减区间.利用二次函数的性质,得t= 2 的单调递减区间为 1 2 ,1,即原函数的单调递增区间为 1 2 ,1.故选D.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法2 函数单调性的应用,1.比较大小 示例3 已知函数f(x)为偶函数,当x0时, f(x)= -4-x,设a=f(log30.2), b= f(3-
11、0.2), c=f(-31.1),则 A.cab B.abc C.cba D.bac 思维导引利用函数f(x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把a,c 对应的自变量的值转化到(0,+)内,然后比较31.1,-log30.2,3-0.2的大小,再 判断f(x)在(0,+)上的单调性,即可得a,b,c的大小.,解析 因为函数f(x)为偶函数,所以a=f(log30.2)=f(-log30.2),c=f(-31.1)= f(31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究) 因为log3 1 9 3-log30.213-0.2. 因为y= 在(0,+)上为增函数, y=-4-x在(0
12、,+)上为增函数, 所以f(x)在(0,+)上为增函数, 所以f(31.1)f(-log30.2)f(3-0.2),所以cab. 答案A,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用 函数性质,将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、 填空题通常选用数形结合的方法进行求解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.求解或证明不等式示例4 已知函数f(x)=-x|x|,x(-1,1),则不等式f(1-m)f(m2-1)的解集为 .,解析由已知得f(x)= 2 ,10, 2 ,
13、01, 则f(x)在(-1,1)上单调递减, 111, 1 2 11, 2 11, 解得0m1, 所求解集为(0,1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 利用函数的单调性求解或证明不等式的方法 若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数,则f(x1)x2), 在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时,可通过“脱去”函数符号“f ”化为 一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行.需要说明的是, 若不等式一边没有“f ”,而是常数,应将常数转化为函数值.如若已知0=f(1), f(x-1)0,则f(x-1)f(1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,
14、3.求参数取值范围 示例5 已知函数y= log 1 2 (6-ax+x2)在1,2上是增函数,则实数a的取值范围为.,解析设u=6-ax+x2,y= log 1 2 u为减函数, 函数u在1,2上是减函数, u=6-ax+x2,对称轴为直线x= 2 , 2 2,且u0在1,2上恒成立.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数, 2 2, 62+40, 解得4a5, 实数a的取值范围为4,5).,方法总结 利用函数的单调性求参数的取值范围的方法根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解,或先 得到图象的升降情况,再结合图象求解. 注意 (1)若函数在区间a,b上是单调的,则
15、该函数在此区间的任意子集上 也是单调的;(2)讨论分段函数的单调性时,除注意各段的单调性外,还要注意 分段点处的函数值.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式2 (1)函数f(x)= 2 5，1, ,1 是R上的增函数,则a的 取值范围为. (2)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是.,2.(1)-3a-2 由题意,得 2 1, 0, 15, 解得-3a-2.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(2)(-1,+) 由题意可得,ax-( 1 2 )x(x0). 令f(x)=x-( 1 2 )x,该函数在(0,+)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+),
16、 故当a-1时,存在正数x使原不等式成立.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法3 求函数的最值(值域）,示例6 已知函数f(x)= 2 ,1, + 6 6,1, 则f(x)的最小值是 . 思维导引 结合已知分段函数,分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.,解析 (利用单调性和基本不等式求解)因为y=x2在(-,0)上单调递减,在0,+)上单调递增, 所以当x1时, f(x)min=f(0)=0.(用单调性法求最值),当x1时,y=x+ 6 2 6 ,当且仅当x= 6 时,等号成立,此时f(x)min=2 6 -6.(用基本不等式法求最值) 又2
17、6 -60,(比较每段上的最值) 所以f(x)min=2 6 -6.,点评 求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例7 若x- 6 , 2 3 ,则函数y=4sin2x-12sin x-1的最大值为 ,最小值为 . 思维导引 令t=sin x,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解 二次函数的最值,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (换元法)令t=sin x,因为x- 6 , 2 3 ,所以t- 1 2 ,1,(注意新元的取值范围) 所以y=f(t
18、)=4t2-12t-1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t = 3 2 , 所以当t- 1 2 ,1时,函数f(t)单调递减, 所以当t=- 1 2 时,ymax=6;当t=1时,ymin=-9.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例8 求下列函数的值域: (1)y= 1sin 2cos ; (2)y= 2 65 ;(3)y=x+ 1 2 ; (4)y= 35 2+1 ;(5)y= 2 +4+1 2 +1 ; (6)y= 2 1 2 +1 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,思维导引 根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域. 解析 (1)(图象法)设动点M(co
19、s x,sinx),定点P(2,1),则y= 1sin 2cos 的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1上. 如图,当直线PM和圆相切时斜率取得最值, 1 =0, 2 = 4 3 .所以函数的值域为0, 4 3 .,(2)(配方法)因为y= 2 65 = (+3 ) 2 +4 4 =2,又y0,所以y= 2 65 的值域为0,2. (3)(三角换元法)因为1-x20,故-1x1,所以可设x=cos ,0, 则y=cos +sin = 2 sin(+ 4 ). 因为0,所以+ 4 4 , 5 4 , 所以sin(+ 4 )- 2 2 ,1,所以 2 sin(+ 4 )-1,
20、2 , 所以原函数的值域为-1, 2 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(4)(分离常数法)y= 35 2+1 = 3 2 (2+1) 13 2 2+1 = 3 2 13 2 2+1 3 2 , 所以所求函数的值域为y|yR且y 3 2 . (5)(判别式法)由原函数整理得(1-y)x2+4x+1-y=0. 当1-y=0,即y=1时,x=0; 当1-y0,即y1时,=16-4(1-y)20,即(1-y)24, 解得-1y3,所以-1y3且y1. (要注意对二次项系数1-y的讨论) 综上,所求函数的值域为-1,3.,文科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(6)(有界性法)由y=
21、2 1 2 +1 , 可得x2= 1+ 1 ,且y1. (结合完全平方式非负的性质来转化) 由x20,知 1+ 1 0,解得-1y1,故所求函数y= 2 1 2 +1 的值域为-1,1).,方法总结 求函数最值(值域)的方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求出最值(值域). (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求出最值(值域),若 函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后 用基本不等式求最值(值域). (4)导数
22、法:先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,再结合端点值,求出最值(值域). (5)换元法:对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值(值域). (6)分离常数法:形如y= + + (a0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(7)配方法:它是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=af(x)2+ bf(x)+c(a0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解时要注意f(x)整体的 取值范围. (8)判别式法:把函数的解析式化为关于x的一元二次方程,利用判别式求值域. 形如y=Ax+B 2 + (A,a中至少有一
23、个不为零)或y= 2 + 2 + (a,d中至 少有一个不为零)的函数适用.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3 已知函数f(x)= sin 2 2 1 + 2 +1 (x0),则函数f(x)的最大值是.,3. 1 2 因为f(x)= sin 2 1 + 2 +1 ,设f1(x)=2x-1+2-x+1, 所以f1(x)=2x-1+ 1 2 1 2 2x1 1 2 1 =2,当且仅当2x-1= 1 2 1 ,即x=1时取等号, 即当x=1时, f1(x)min=2. 设f2(x)=sin 2 , 则f2(x)max=f2(1)=sin 1 2 =1, 所以函数f(x)的最大值是
24、f(x)max= 1 2 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法4 判断函数的奇偶性,示例9 判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=(x-1) 1+ 1 ;(2)f(x)= lg(1 2 ) | 2 2|2 ;(3)f(x)= 2 +(0). 思维导引 求函数定义域判断定义域是否关于原点对称判断f(-x)与f(x)的关系 下结论,解析 (1)由 1+ 1 0得函数的定义域为-1,1), 关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶函数. (2)由 1 2 0, | 2 2|20 得函数的定义域为(-1,0)(0,1), 所以f(x)= lg(1 2 ) ( 2 2)2 =- lg(1
25、 2 ) 2 . 所以f(-x)=- lg1( ) 2 ( ) 2 = - lg(1 2 ) 2 =f(x),所以f(x)为偶函数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(3)当x0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x). 又f(0)=0,故对任意的x(-,+),都有f(-x)=-f(x), (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性) 所以f(x)为奇函数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法.,既不是奇函数 也不是偶函数
26、,判断f(-x)与f(-x)的关系,确定定义域,定义域 关于原点对称,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),f(-x)f(x),偶函数,奇函数,非奇非偶函数,否,是,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(2)图象法,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(3)性质法. 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:,注意 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结 一些重要类型的奇偶函数 （1）函数f(x)=ax+a-x为偶函数,函数f(
27、x)=ax-a-x为奇函数; （2）函数f(x)= + = 2 1 2 +1 (a0且a1)为奇函数; （3）函数f(x)=loga + 为奇函数; （4）函数f(x)=loga(x+ 2 +1 )为奇函数.,考法5 函数奇偶性的应用,示例10(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,当x0时,f(x)=x+1,则f(x) 的解析式为. (2)已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)f( 1 3 )的x的取值 范围是. (3)若函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程为.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)f(x)为奇函数,f(-
28、x)=-f(x). 当x=0时,有f(-0)=-f(0),f(0)=0. 当x0. f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1. f(x)= +1,0, 0,=0, 1,0. (2)偶函数f(x)=f(|x|),f(2x-1)f( 1 3 ), 即f(|2x-1|)f( 1 3 ).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,又f(x)在0,+)上单调递增, |2x-1| 1 3 ,解得 1 3 x 2 3 . (3)f(x+1)为偶函数, 函数f(x+1)的图象关于直线x=0对称. 又函数f(x)的图象是由函数f(x+1)的图象向右平移一个单位长度而得到的, 函数f(x)的图象关于直线x
29、=1对称.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结 函数奇偶性的应用类型及解题策略,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式4 (1)将示例10(1)中“奇函数且定义域为R”改为“偶函数且定义域为xR|x0”,则f(x)的解析式为 . (2)将示例10(2)中“已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增”改为“函数f(x)=x2+e|x|”,则x的取值范围是 . (3)若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0且在区间-2,+)上单调递减,则f(3-x) 0的解集为 .,4.(1)f(x)= +1,0, 1,0,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(2)( 1 3
30、, 2 3 ) f(x)=x2+e|x|是偶函数,且在0,+)上单调递增,x的取值范围 是( 1 3 , 2 3 ) . (3)(5,+) f(x-2)为奇函数,f(x-2)图象对称中心为(0,0). f(x)的图象可由f(x-2)的图象向左平移两个单位长度而得, f(x)的图象关于(-2,0)中心对称, f(x)在-2,+)上单调递减, f(x)在(-,-2上也单调递减, f(3-x)0=f(-2), 3-x5,解集为(5,+).,考法6 函数周期性的判断及应用,示例11 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+3)= - 1 () ,当1x3时, f(x)=cos 3 ,则f(2 0
31、20)= . 思维导引 先由已知条件求出函数的周期,再结合函数的性质,把f(2 020)转化为f(4),进而转化为f（2）,把x=2代入即可.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 由已知可得f(x+6)=f(x+3)+3)=- 1 (+3) =- 1 1 () =f(x),故函数f(x)的周期为6. f(2 020)=f(6336+4)=f(4). f(x)为偶函数,f(1)=f(-1),则f(4)=f(1+3)=- 1 (1) =- 1 (1) =f(2)=cos 2 3 =- 1 2 ,f(2 020)=- 1 2 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例12 已知f
32、(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 思维导引 确定当0x2时,函数图象与x轴的交点个数根据f(x)是以2为周期的周 期函数,确定当2x4时函数图象与x轴的交点个数同理得出当4x6时函数图象与x轴的交点个数,并确定x=6时是否有交点由各区间交点个数, 即可得出正确选项,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 当0x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1. 当2x4时,0x-22,又f(x)
33、的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x), 所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3. 同理可得,当4x6时, y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5. 当x7=6时,也符合要求. 综上可知,共有7个交点. 答案 B,拓展结论 1.判断函数的周期,只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. 2.常见的几个结论 周期函数y=f(x)满足: (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a; (2)若f(x+a)
34、=-f(x),则函数的周期为2a; (3)若f(x+a)=- 1 () ,则函数的周期为2a; (4)若f(x+a)= 1 () ,则函数的周期为2a;,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(5)若f(x+a)=f(x+b)(ab),则函数的周期为|a-b|; (6)若函数f(x)关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的周期为2|b-a|; (7)若函数f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|; (8)若函数f(x)关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|
35、; (9)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2a; (10)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4a. 3.根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,考法7 函数性质的综合应用,示例13 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则 A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-2
36、5) D.f(-25)f(80)f(11) 思维导引 由f(x)在定义域R上满足f(x-4)=-f(x)得f(x-8)=f(x),可知f(x)是以8为周期的周期函数结合f(x)的奇偶性和单调性,即可得出选项,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 因为f(x)满足f(x-4)=- f(x), 所以f(x-8)= f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=- f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数,
37、f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11). 答案 D,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例14 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且在区间0,+)上是增函数,若f(m)f(-2),求实数m的取值范围.思维导引 根据偶函数在对称区间上的单调性关系求f(x)在(-,0上的单调性,然后分情况讨论m所在的区间即可求解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 函数f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上是增函数, 所以f(x)在(-,0上是减函数. 当m0时,由f(m)f(-2),知m-2;
38、 当m0时,由f(m)f(-2),f(-2)=f(2),可得f(m)f(2),知m2. 故实数m的取值范围为(-,-22,+). 点评 本例也可以利用偶函数的性质f(-x)=f(x)=f(|x|)转化为解不等式f(|m|)f(2),即|m|2.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,感悟升华 1.函数单调性与奇偶性的综合,常利用奇、偶函数的图象的对称性,以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性的关系求解. 2.函数周期性与奇偶性的综合,此类问题多是求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解. 3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函
39、数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,在解题时,往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式5 已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x)+2 2 ,若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(2 017)= .,5.2 由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知, 函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数. 由f(x+4)=-f(x)+2 2 ,得f(x+4+4)=-f(x+4)+2 2 =f(x), 所以f
40、(x)是周期T=8的偶函数,所以f(2 017)=f(1+2528)=f(1)=2.,C方法帮素养大提升,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,易错1 忽略函数的定义域致误,易错2 混淆“函数的单调区间“与”函数在区间上单调”致误,示例15 (1)若函数f(x)= 2 1+ 2 在定义域上为奇函数,则实数k= . (2)已知函数f(x)= 2 +1,0, 1,f(2x)的x的取值范围是 .,易错1 忽略函数的定义域致误,易错分析 (1)解题过程中忽略函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0,得k=1. (2)本题易出现错误:由f(1-x2)f(2x)得1-x22x,忽略了1-x20导
41、致解答失误.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)f(-x)= 2 1+ 2 = 2 1 2 + , f(-x)+f(x)= ( 2 )( 2 +)+( 2 1)(1+ 2 ) (1+ 2 )( 2 +) = ( 2 1)( 2 2 +1) (1+ 2 )( 2 +) . 由f(-x)+f(x)=0,可得k2=1,k=1. (2)画出f(x)= 2 +1,0, 1,f(2x),则 1 2 0, 1 2 2, 即 11, 1 2 1+ 2 , 所以x(-1, 2 -1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,素养提升,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,温馨提示,(
42、1)已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数的值时,要注意函数的定义域. (2)解决分段函数的单调性问题时,应高度关注:对变量所在区间的讨论; 保证各段上同增(减)时,要注意端点值间的大小关系;弄清最终结果是取并集还是取交集.,示例16 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-,4,则实数a的取值范围是 .,易错2 混淆“函数的单调区间“与”函数在区间上单调”致误,易错分析 本示例求解过程中容易把单调区间误认为是在区间上单调而出错.,解析 因为函数的单调递减区间为(-,4,且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以1-a=4,解得a=-3.,审题指导 (1)关注二次函数图象的对称轴与其单调性的关系. (2)明确单调递减区间的含义.,
