1、第八讲 函数模型及其应用,第二章 函数概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 指数、对数、幂函数模型的比较 考点2 函数模型的应用,考法1 构造二次函数、分段函数模型 考法2 构造=+ 模型 考法3 构造指数函数、对数函数、幂函数模型,B考法帮题型全突破,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,易错 与增长率有关的实际问题,C 方法帮素养大提升,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,命题规律,1.命题分析预测 该讲在近几年全国卷中未考查,但其作为高考考查的内容之一,常以社会实际生活为背
2、景,以解决最优问题的形式出现,如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题,主要考查二次函数、指数函数、对数函数模型的应用. 2.学科核心素养 该讲通过函数模型及其应用考查考生的数学建模、数学运算素养以及分析问题和解决问题的能力.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 指数、对数、幂函数模型的比较 考点2 函数模型的应用,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.几种常见的函数模型,考点1 指数、对数、幂函数模型的比较,2.指数、对数、幂函数模型性质比较,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,函数,性质,考点2 函数模型的应用（重点）,建立函数模型解应用问题的步骤
3、,名师提醒,利用函数模型解应用问题时的易错点:不会将实际问题转化为函数模型或转化不全面;在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件.,B考法帮题型全突破,考法1 构造二次函数、分段函数模型 考法2 构造=+ 模型 考法3 构造指数函数、对数函数、幂函数模型,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法1 二次函数、分段函数模型,示例1 某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 6 吨(0t24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于80吨时,
4、就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象. 思维导引 (1)根据题意,先设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,写出蓄水池中的存水量的函数表达式,再利用换元法求此函数的最小值即可;(2)根据题意列不等式求解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-120 6 , 令 6 =x,则x2=6t,即t= 2 6 ,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, 当x=6,即t=6时,ymin=40, (构建二次函数) 即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,最少存水量是40吨. (2
5、)由(1)及题意得400+10x2-120x80,即x2-12x+320, 解得4x8,即4 6 8, 8 3 t 32 3 . 因为 32 3 - 8 3 =8,所以每天约有8小时出现供水紧张现象.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,易错警示 解题过程谨防2种失误 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决,但一定要密切注 意函数的定义域,否则极易出错; (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,然后比较大小得解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式1 据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时
6、间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为 时间t内台风所经过的路程s(单位:km).,(1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.,1.(1)由图象可知,直线OA的方程是v=3t,直线BC的方程是v=-2t+70. 当t=4时,v=12,所以s= 1 2 412=24. (2)当0t10时,s= 1 2 t3t= 3 2 t2; 当10
7、t20时,s= 1 2 1030+(t-10)30=30t-150; 当20t35时, s=150+300+ 1 2 (t-20)(-2t+70+30)=-t2+70t-550.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,综上可知,s随t变化的规律是 s= 3 2 2 ,0,10, 30150,(10,20, 2 +70550,(20,35. (3)当t0,10时,smax= 3 2 102=150650, 当t(10,20时,smax=3020-150=450650, 当t(20,35时,令-t2+70t-550=650,解得t=30或t=40(舍去), 即在台风发生30小时后将侵袭到N城.
8、,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法2 构造=+ 模型,示例2 某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 思维导引,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析设该养殖场x(xN*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天饲 料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)(元). 从而有y=
9、1 (3x2-3x+300)+2001.8= 300 +3x+3572 300 3 +357=417, 当且仅当 300 =3x,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使 平均每天支付的总费用最少.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结,函数=+ （a0）的性质 (1)该函数在(-,- 和 ,+)上单调递增,在- ,0)和(0, 上单调递减. (2)当x0时,函数在x= 时取得最小值2 ;当x0时,函数在x=- 时取得最大值-2 .,易错警示 利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号 成立的条件.,理科数学 第二章：函数概
10、念与基本初等函数,拓展变式2 某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角 为60(如图),考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积 为9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形 的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料 最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=米.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.2 设横段面的高为h. 根据题意知,9 3 = 1 2 (AD+BC)h,其中AD=BC+2 2 =BC+x,h= 3 2 x, 所以9 3 = 1 2 (2BC+x) x,得BC=
11、18 - 2 , 由 = 3 2 x 3 , = 18 2 0, 得2x6.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,所以y=BC+2x= 18 + 3 2 (2x6),y 18 + 3 2 2 18 3 2 =6 3 ,当且仅当18 = 3 2 ,即x=2 3 时取等号. 故所求防洪堤的腰长为2 3 米.,考法3 构造指数函数、对数函数、幂函数模型,示例3 2016四川,5,5分理某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元.在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg
12、1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,则130(1+12%)x200, 即1.12x 2 1.3 x lg 2 1.3 lg1.12 = lg2lg1.3 lg1.12 0.300.11 0.05 =3.8,所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.,答案 B,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类
13、的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3 10 (其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s. (1)求出a,b的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,思维导引,(1),根据已知列出方程组,解方程组求a,b的值,(2),由(1)列出不等式,解不等式求Q的最小值,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a
14、+blog3 30 10 =0,即a+b=0; 当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog3 90 10 =1,整理得a+2b=1.解方程组 +=0, +2=1, 得 =1, =1. (2)由(1)知,v=a+blog3 10 =-1+log3 10 . 所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v2, 所以-1+log3 10 2,即log3 10 3,解得 10 27,即Q270. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,感悟升华 三种函数模型的应用技巧 (1)与幂函数、指数函数、对数函数模型有
15、关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型. (2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含
16、药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.(1)由题图,设y= ,01, ( 1 2 ) ,1. 当t=1时,由y=4,得k=4, 由( 1 2 )1-a=4,得a=3.所以y= 4,01, ( 1 2 ) 3 ,1.,(2)由y0.25得 01, 40.25 或 1 ( 1 2 ) 3 0.25. 解得 1 16 t5. 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5- 1 16 = 79 16 (时).,C方法帮素养大提升,易错 与增长率有关的实际问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,易错 与增长率有关的实际问题,示
17、例5 某厂两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了 . 易错分析 对增长率问题的公式y=N(1+p)x未能理解透彻,而造成指数写错.事实上,指数x是基数所在时间与所跨过的时间的间隔数.,解析不妨设去年2月份的产值是b,则去年3月份的产值是b(1+a),去年4月 份的产值是b(1+a)2,故今年2月份的产值是b(1+a)12,所以这两年内第二 年某月的产值比第一年相应月的产值增长了 (1+) 12 =(1+a)12-1.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,审题指导 (1)明确“都是a”的含义,即a为平均增长率. (2)“某月”可用“不妨设”的方式处理. (3)从“相应”中明确间隔的月份数.,
