1、第二讲 导数的应用,第三章 导数及其应用,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 导数与函数的单调性 考点2 导数与函数的极值、最值 考点3 生活中的优化问题,考法1 利用导数研究函数的单调性 考法2 已知函数的单调性求参数 考法3 利用导数求函数的极值和最值 考法4 已知函数的极值、最值求参数 考法5 利用导数解决不等式问题 考法6 利用导数解决与函数零点有关的问题 考法7 利用导数解最优化问题,B考法帮题型全突破,理科数学 第三章：导数及其应用,专 题 构造法在导数中的应用,C方法帮素养大提升,理科数学 第三章：导数及其应用,考情精解读,命题
2、规律 聚焦核心素养,理科数学 第三章：导数及其应用,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题,同时与解不等式关系最为密切,还可能与三角函数、数列等知识综合考查,一般出现在选择题和填空题的后两题中以及解答题的第21题,难度 较大,复习备考的过程中应引起重视. 2.学科核心素养 该讲通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题,考查 考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 导数与函数的单调性 考点2 导数与函数的极值、最值 考点
3、3 生活中的优化问题,理科数学 第三章：导数及其应用,1.已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递增函数; (2)若f (x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件. (2)f (x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件. (3)若f (x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f (x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.,考点1 导数与函数的单调性（重点）,1.函数的极值 设函数y=f(x)在x0附近有定义, (1)如果对x0附近的所有
4、的点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.,考点2 导数与函数的极值、最值（重点）,易错警示 (1)极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1). (2)极大值与极小值没有必然关系,极小值可能比极大值还大. (3)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数. (4)f (x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件.例如,f(x)=x3,f (0)=0,但x=0不是极值点.,文科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,2.函数的最值
5、在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. 辨析比较 极值与最值的区别与联系,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 利用导数解决生活中优化问题的基本思路为:注意 在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.,考点3 生活中的优化问题,B考法帮题型全突破,考法1 利用导数研究函数的单调性 考法2 已知函数的单调性求参数 考法3 利用导数求函数的极值和最值 考法4 已知函数的极值、最值求参数 考法5 利用导数解决不等式问题 考法6 利
6、用导数解决与函数零点有关的问题 考法7 利用导数解最优化问题,理科数学 第三章：导数及其应用,示例1 2018武汉市部分学校测试已知函数f(x)=ex-ax-1(aR)(e= 2.718 28是自然对数的底数). (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论g(x)=f(x)(x- 1 2 )在区间0,1内的零点个数. 思维导引 (1)求出f (x),分a0,a0两种情况进行讨论,令f (x)0得f(x)的单调递增区间,f (x)0得f(x)的单调递减区间;(2)要求g(x)=f(x)(x- 1 2 )在区间0,1内的零点个数,需考虑f(x)在区间0,1内的零点个数,利用导数研究函数f(x)的单
7、调性,分a1,ae,1ae-1三种情况进行讨论,分别求出零点个数即可.,考法1 利用导数研究函数的单调性,解析(1)由题意可得f(x)=ex-a. 当a0时,f(x)0恒成立, 所以f(x)的单调递增区间为(-,+),无减区间; 当a0时,由f (x)0,得xlna,由f (x)0,得xlna,所以f(x)的单调递减区间为(-,lna),单调递增区间为(lna,+).（对a分类讨论） (2)由g(x)=0得f(x)=0或x= 1 2 . 先考虑f(x)在区间0,1内的零点个数. 当a1时, f(x)在(0,+)上单调递增且f(0)=0,此时f(x)有一个零点; 当ae时, f(x)在(-,1)
8、上单调递减且f(0)=0,此时f(x)有一个零点; 当1ae时, f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(lna,1)上单调递增.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,因为f(0)=0， f(1)=e-a-1,所以当ae-1时, f(x)有一个零点,当1e-1或a=2( e -1)时, g(x)有两个零点; 当1ae-1且a2( e -1)时, g(x)有三个零点.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,方法总结 利用导数研究函数单调性的方法 方法一:(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f (x); (3)由f (x)0(或0)
9、解出相应的x的取值范围,对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间. 方法二:(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f (x),并求方程f (x)=0的根; (3)利用f (x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论 f (x)的正负,由符号确定f(x)在该子区间上的单调性.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,注意 (1)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数f (x)在某一区间内的符号是否有影响,若有影响,则必须分类讨论.(2)求函数的单调区间,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断 点.,理科数
10、学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式1 2019湖南四校联考已知函数f(x)=ln 1+ 1 -ax. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x(0,1)时,eax-e-ax 4 1x2 ,求实数a的取值范围.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,1.(1) 1+ 1 0,-12时,由f (x)0,得x( 1 2 ， 1 2 ),f(x)在( 1 2 ， 1 2 )上单调递减,在(-1,- 1 2 ）,( 1 2 ,1)上单调递增. (2)当a2时,由(1)知f(x)在(-1,1)上单调递增, 当x(0,1)时,f(x)f(0)0f(-
11、x), 即ln 1+ 1 ax,ln 1 1+ eax, 1 1+ e-ax,eax-e-ax 4 1x2 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当a2时,由(1)知f(x)在( 1 2 ， 1 2 )上单调递减, 当x(0, 1 2 )时,f(x)-ax,从而可得 1+ 1 e-ax, eax-e-ax 4 1x2 ,不合题意,舍去. 综上所述,实数a的取值范围为(-,2.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法2 已知函数的单调性求参数,示例22018广东六校第二次联考若函数f(x)=x- 1 3 sin 2x+asin x在(-
12、,+)上单调递增,则a的取值范围是 A.-1,1 B.-1, 1 3 C.-, 1 3 D.-1,- 1 3 ,思维导引,将函数f(x)在(-,+)上单调递增转化为f (x)0在(-,+)上恒成立,换元转化为一元二次函数在闭区间上的恒成立问题求解,解析 依题意得f (x)=1- 2 3 cos 2x+acos x0在(-,+)上恒成立, 即- 4 3 cos2x+acos x+ 5 3 0在(-,+)上恒成立. (这里“=”一定不能省略) 设t=cos x(-1t1),g(t)=- 4 3 t2+at+ 5 3 ,则g(0)= 5 3 ,所以g(t)0在-1,1上恒成立等价于 （1）0 （1）
13、0 解得- 1 3 a 1 3 ,所以a的取值范围是- 1 3 , 1 3 . 答案 C,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,归纳总结 已知函数的单调性求参数的取值范围的常见类型和解题技巧,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式2设f(x)= e 1+ 2 ,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调函数,则a的取值范围为 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,2.(0,1对f(x)求导得f(x)=ex 1+ 2 2 (1+ 2 ) 2 . 若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0
14、,知ax2- 2ax+10在R上恒成立.因此,方程ax2-2ax+1=0的根的判别式=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合a0,知0a1,即a的取值范围是(0,1.,考法3 利用导数求函数的极值和最值,示例3 2018湖北省七市(州)联考已知函数f(x)=ln x+x+1,g(x)=x2+2x. (1)求函数y=f(x)-g(x)的极值; (2)若m为整数,对任意的x0都有f(x)-mg(x)0成立,求实数m的最小值.,思维导引,解析 (1)令(x)=f(x)-g(x)=ln x+x+1-x2-2x=ln x-x2-x+1(x0),则(x)= 1 -2x-1 = 2x2+1 (x0).令
15、(x)0,解得0 1 2 ,所以函数(x)的单调递增区间是(0, 1 2 ),单调递减区间是( 1 2 ,+),故函数(x)的极大值是( 1 2 )=ln 1 2 - 1 4 - 1 2 + 1= 1 4 -ln 2,函数(x)无极小值. (2)设h(x)=f(x)-mg(x),则h(x)= 1 -2mx+1-2m= 2x2（12）+1 =（2x1）（+1） (x0).(利用十字相乘法,将分子转化为两个因式的积),理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当m0时,(导函数符号不确定,需对分子中的二次项系数分类讨论) 因为x0,所以2mx-10,所以h(x)0,故h(x)
16、在(0,+)上单调递增, 又h(1)=ln 1-m12+(1-2m)+1=-3m+20,不满足题意,舍去.(通过代入特殊值,舍去不合题意的值) 当m0时,令h(x)0,得0 1 2 ,故h(x)在(0, 1 2 )上单调递增,在( 1 2 ,+)上单调递减, 所以h(x)max=h( 1 2 )=ln 1 2 -m( 1 2 )2+(1-2m) 1 2 +1= 1 4 -ln(2m).(由函数单调性确定函数的最大值),理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,令t(m)= 1 4 -ln(2m)(m0),显然t(m)在(0,+)上单调递减,且t( 1 2 )= 1 2 0
17、,t(1)= 1 4 -ln 2 = 1 4 (1-ln 16)0,故当m1时,t(m)0,满足题意,故整数m的最小值为1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,素养提升 本题体现的核心素养是数学抽象.即以导数的正负与函数单调性的关系为基础,运用导数运算法则,通过选择合适的方法,经过推理、论证解决问题.,方法总结 1.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f (x); (2)求方程f (x)=0的根; (3)检验f (x)在方程f (x)=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,续
18、表,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,注意 对于求解析式中含有参数的函数的极值问题,一般要对方程f (x)=0的根的情况进行讨论.分两个层次讨论:第一层,讨论方程在定义域内是否有根;第二层,在有根的条件下,再讨论根的大小.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,2.求函数f(x)在a,b上的最值的方法 (1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在区间a,b内有极值,则要先求出函数在a,b上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成; (3)函
19、数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 注意 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.,拓展变式3 2018安徽黄山模考已知f(x)=x2-2ax+ln x. (1)当a=1时,求f(x)的单调性; (2)若f (x)为f(x)的导函数,f(x)有两个不相等的极值点x1,x2(x1x2),求 2f(x1)-f(x2)的最小值.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,3.(1)当a=
20、1时, f(x) =x2-2x+ln x(x0), f (x) =2x-2+ 1 = 2 2 2x+1 = (1) 2 + 2 0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)已知f(x)=x2-2ax+ln x,所以f (x)=2x-2a+ 1 = 2 2 2+1 ,由题意得,x1,x2为方程2x2-2ax+1=0的两个不相等的正实数根,所以 1 + 2 =0, 1 2 = 1 2 , =4 2 80, 解得a 2 ,又2ax1=2 1 2 +1,2ax2=2 2 2 +1,且 2 2 2 ,所以x1(0, 2 2 ),x2(
21、2 2 ,+). 2f(x1)-f(x2) =2( 1 2 -2ax1+ln x1)-( 2 2 -2ax2+ln x2) =2 1 2 - 2 2 -4ax1+2ax2-ln x2+2ln x1,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,=-2 1 2 + 2 2 -ln 2 1 2 -1 =- 1 2 2 2 + 2 2 -ln 2 3 ( 1 2 ) 2 -1 =- 1 2 2 2 + 2 2 - 3 2 ln 2 2 -2ln 2-1, 令t= 2 2 (t 1 2 ),则g(t)=- 1 2 +t- 3 2 ln t-2ln 2-1, 则g(t)= 1 2 2
22、+1- 3 2 = 2 2 3t+1 2 2 = (21)(1) 2 2 ,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当 1 2 1时,g(t)0,所以函数g(t)在( 1 2 ,1)上单调递减,在1,+)上单调递增,g(t)min=g(1)=- 1+4ln2 2 , 所以2f(x1)-f(x2)的最小值为- 1+4ln2 2 .,考法4 已知函数的极值、最值求参数,示例4 2016山东，20，13分设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (1)令g(x)=f (x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.思维
23、导引 (1)先求出g(x)=f (x)的解析式,然后求函数的导数g(x),再利用函数单调性和导数之间的关系即可求g(x)的单调区间;(2)分别讨论a的取值范围,根据函数极值的定义,进行验证即可得出结论.,解析(1)由f(x)=lnx-2ax+2a, 可得g(x)=lnx-2ax+2a,x(0,+). 则g(x)= 1 -2a= 12 . 当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增; 当a0时,x(0, 1 2 )时,g(x)0,函数g(x)单调递增, x( 1 2 ,+)时,g(x)0时,g(x)的单调增区间为(0, 1 2 ),单调减区间为( 1 2 ,+).,理科数学 第三
24、章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)由(1)知,f(1)=0. 当a0时,f(x)单调递增, 所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意. 当01,由(1)知f(x)在(0, 1 2 )内单调递增, 可得当x(0,1)时,f(x)0. 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, 1 2 )内单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当a= 1 2 时, 1 2 =1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以当x(0
25、,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不符合题意. 当a 1 2 时,00,f(x)单调递增, 当x(1,+)时,f(x) 1 2 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,技巧点拨 掌握已知函数极值点或极值求参数的两个要领,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式4 2019青海省西宁四中二模已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x,其中aR. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)当a0时,若f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求a的取值范围.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数
26、学 第三章：导数及其应用,4. (1)当a=1时, f(x)=x2-3x+ln x(x0), 所以f(x)=2x-3+ 1 = 2 2 3+1 , 所以f(1)=-2,f(1)=0. 所以切线方程为y=-2.,(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域为(0,+), 当a0时, f(x)=2ax-(a+2)+ 1 = 2 2 (+2)+1 = (21)(1) , 令f(x)=0,解得x= 1 2 或x= 1 . 当0 1 1,即a1时, f(x)在1,e上单调递增. 所以f(x)在1,e上的最小值为f(1)=-2,符合题意; 当1 1 e,即 1 e a1时, f(x)在1, 1
27、 上单调递减,在 1 ,e上单调递增, 所以f(x)在1,e上的最小值为f( 1 )f(1)=-2,不符合题意;,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当 1 e,即0a 1 e 时, f(x)在1,e上单调递减, 所以f(x)在1,e上的最小值为f(e)f(1)=-2,不符合题意; 综上, 实数a的取值范围是1,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法5 利用导数解决不等式问题,示例52019湖北部分重点中学高三测试设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)= 1 - 1 ex1 ,其中aR,e=2.718为自然对数的底数.
28、(1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当x1时,g(x)0; (3)如果f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立,求实数a的取值范围.,思维导引 (1)首先求出f (x),然后分a0,a0讨论f (x)与0的大小关系,从而得函数f(x)的单调性;(2)令s(x)=ex-1-x,利用导数研究函数s(x)的单调性,从而确定s(x)的正负,进而使问题得证;(3)首先结合(2)(1)推出a可能满足题意的取值范围,然后构造函数h(x)=f(x)-g(x)(x1),利用导数判断函数h(x)的单调性,进而使问题获解.,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)f (x)=2ax- 1 = 2x21 (
29、x0). 当a0时,f (x)0时,由f (x)= 0得x= 1 2 , 所以当x(0, 1 2 )时, f (x)0,f(x)单调递减;,理科数学 第三章：导数及其应用,当x( 1 2 ,+)时, f (x)0,f(x)单调递增. (2)g(x)= ex1 ex1 ,令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1. 当x1时,s(x)0,所以s(x)单调递增,又s(1)=0,所以s(x)0, 从而当x1时,g(x)= 1 - 1 ex1 0. (3)由(2)知,当x1时,g(x)0. 当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0. 当01
30、.,理科数学 第三章：导数及其应用,由(1)知f( 1 2 )0, 所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立. 当a 1 2 时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1), 当x1时,h(x)=2ax- 1 + 1 x2 -e1-xx- 1 + 1 x2 - 1 = x32x+1 x2 x22x+1 x2 0, 因此,h(x)在区间(1,+)上单调递增. 又h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立. 综上,实数a的取值范围为 1 2 ,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,点评 解决含参数问题及不等式问题要注意两个转化:(1)利用导数解决含
31、有参数的函数的单调性问题,可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用;(2)将不等式的证明、方程根的个数的判断转化为函数的单调性问题处理.,方法总结 1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),即证明F(x)0;如果F(x)在(a,b)上的最大值小于0(最小值大于0),那么即证明f(x)g(x),x(a,b). 其一般步骤是:构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论.,2.不等式成立(恒成立)问题 (1)f(x)a恒成立f(x)mina, f(x)a成立f(x)maxa. (2)f(x)b恒成立
32、f(x)maxb, f(x)b成立f(x)minb. (3)f(x)g(x)恒成立 =f(x)g(x) F(x)min0. (4)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min. x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max. x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min. x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,易错警示 不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况,解题时应特别注意,两者都可转
33、化为最值问题,但f(a)g(x)(f(a)g(x)对存在xD能成立等价于f(a)g(x)min(f(a)g(x)max), f(a)g(x)(f(a)g(x)对任意xD都成立等价于f(a)g(x)max(f(a)g(x)min),应注意区分,不要搞混.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式5 设f(x)=ex-a(x+1). (1)若xR,f(x)0恒成立,求正实数a的取值范围; (2)设g(x)=f(x)+ e ,且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围.,理
34、科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,5. (1)因为f(x)=ex-a(x+1),所以f (x)=ex-a. 由题意,得a0.由f (x)=ex-a=0,解得x=ln a. 故当x(-,ln a)时,f (x)0,函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)的最小值为f(ln a)=eln a-a(ln a+1)=-aln a. 由题意,若xR,f(x)0恒成立,即f(x)=ex-a(x+1)0恒成立,则-aln a0,又a0,所以-ln a0,解得0a1. 所以正实数a的取值范围为(0,1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)设x1,
35、x2是任意两个实数,且x1m,得 ( 2 )( 1 ) 2 1 m. 因为x2-x10,所以g(x2)-g(x1)m(x2-x1),即g(x2)-mx2g(x1)-mx1. 因为x1x2,所以函数h(x)=g(x)-mx在R上为增函数. 故h(x)=g(x)-m0恒成立,所以mg(x). 而g(x)=ex-a- e , 因为a-10,所以由均值不等式可得g(x)=ex+ () e -a2 e () e -a=2 -a. 而2 -a=2 + ( ) 2 = ( +1) 2 -13, 所以m的取值范围为(-,3.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法6 利用导数解决
36、与函数零点有关的问题,示例6 2019惠州市一调已知函数f(x)=(x-2)ex+a(aR). (1)试确定函数f(x)的零点个数; (2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x22.,思维导引 （1）（2）,将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题求解,解析 (1)由f(x)=0得a=(2-x)ex,令g(x)=(2-x)ex, 函数f(x)的零点个数即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点个数. g(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex, 由g(x)0得x1,函数g(x)在(1,+)上单调递减. 当x=1时,函数g(x)有最大值,g(x)max=g(1
37、)=e.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,又当x0,g(2)=0,当x2时,g(x)e时,函数f(x)没有零点;当a=e或a0时,函数f(x)有一个零点;当0ae时,函数f(x)有两个零点.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)解法一 函数f(x)的零点即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点的横坐标, 由(1)知0f(2-x2), 又f(x1)=0,故要证f(2-x2)1), 构造函数h(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则h(x)=(1-x)(ex-e2-x), 当x1时,exe2-x,h(x)1时,h(x)1时,
38、f(2-x2)0,即x1+x22.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解法二 由(1)知01), 则F(x)=(x-2)ex+xe2-x,F(x)=(1-x)(e2-x-ex), 易知y=e2-x-ex是减函数,当x1时,e2-x-ex0,F(x)在(1,+)上单调递增, 当x1时,F(x)0, 即f(x)f(2-x). 由x21得f(x2)f(2-x2),又f(x2)=0=f(x1), f(2-x2)x1,即x1+x22.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,素养提升本题主要考查考生灵活运用导数、数形结合思想分析问题、解决问题的能力,
39、解题过程中重点考查了分类讨论思想、数形结合思想的应用,有助于提升考生的逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,方法总结 利用导数解决函数零点问题的方法 1.先求函数的单调区间和极值,根据函数的性质画出图象,然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题,主要是应用数形结合思想和分类讨论思想. 2.构造函数,将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题. 3.分离参变量,即由f(x)=0分离参变量,得a=(x),研究y=a与y=(x)图象的交点问题.,拓展变式6 已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR). (1)当a=2时,求f(x)
40、的图象在x=1处的切线方程; (2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在 1 e ,e上有两个零点,求实数m的取值范围.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,6. (1)当a=2时,f(x)=2ln x-x2+2x, 则f (x)= 2 -2x+2,切点坐标为(1,1), 切线的斜率k=f (1)=2,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)g(x)=f(x)-ax+m=2ln x-x2+m, 则g(x)= 2 -2x= 2(+1)(1) . x 1 e
41、,e,由g(x)=0,得x=1. 当 1 e x0,函数g(x)单调递增, 当1xe时,g(x)0,函数g(x)单调递减, 故当x=1时,函数g(x)取得极大值g(1)=m-1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,又g( 1 e )=m-2- 1 e2 ,g(e)=m+2-e2, g(x)=f(x)-ax+m在 1 e ,e上有两个零点需满足条件 g(1)=m10 g( 1 e )=m2 1 e2 0 g(e)=m+2e20 解得1m2+ 1 e2 . 故实数m的取值范围是(1,2+ 1 e2 .,示例7 2015江苏，17，14分理某山区外围有两条相互垂直的直线
42、形公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线形公路.记两条相互垂直的公路分别为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y= 2 + (其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于点P,点P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,考
43、法7 利用导数解最优化问题,思维导引(1)由题意得函数y= 2 + 过点(5,40),(20,2.5),列方程组可解出a,b的值;(2)先利用导数的几何意义求出直线l的方程,然后求出直线l与x轴,y轴的交点坐标,从而得到函数f(t)的解析式,由点M,N的横坐标可得出函数f(t)的定义域;构造新函数,利用导数知识求最值即可.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5), (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5), 将其分别代入y= 2 + , 得 25+ =40, 400+ =2
44、.5, 解得 =1 000, =0. (2)由(1)知,y= 1 000 2 (5x20),则点P的坐标为(t, 1 000 2 ), 设公路l交x轴,y轴分别于A,B两点,如图所示.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,因为y=- 2 000 3 , 所以l的方程为y- 1 000 2 =- 2 000 3 (x-t),由此得A( 3 2 ,0),B(0, 3 000 2 ). 故f(t)= ( 3 2 ) 2 +( 3 000 2 ) 2 = 3 2 2 + 41 0 6 4 ,t5,20. 设g(t)=t2+ 41 0 6 4 ,则g(t)=2t- 161 0
45、 6 5 .令g(t)=0,解得t=10 2 . 当t5,10 2 )时,g(t)0,g(t)是增函数. 所以当t=10 2 时,函数g(t)有极小值,也是最小值,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,所以g(t)min=300, 此时f(t)min=15 3 . 故当t=10 2 时,公路l的长度最短,最短长度为15 3 千米. 点评 生活中的实际问题往往受某些主要变量的制约,如商品的利润主要受销售量和销售价格的制约,铺设道路受空间位置的制约,物品的制造受物品的形状和制造材料的制约等,解决这些问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立关于这个变量的函数,然后通过研究这
46、个函数,找到变量在什么情况 下可以达到目标最优.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,感悟升华 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤注意 在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最优解.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式7某生产厂家每天生产一种某精密仪器,已知该工厂每天生产的产品最多不超过30件,且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(xN*)间的关系为p(x)= 2 3 000 ,每生产一件正品盈利2 000元,每出现一件次品亏损1 000元,已知若生产10件,则生产的正品只有7件.(注:正品率=产品的正品件数产品总件数100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数; (2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.,
