1、第三讲 定积分与微积分基本定理,第三章 导数及其应用,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 定积分 考点2 微积分基本定理,考法1 求定积分 考法2 定积分的应用,B考法帮题型全突破,理科数学 第三章 ：导数及其应用,C方法帮素养大提升,易 错 平面图形的上下边界弄错致误,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第三章 ：导数及其应用,命题规律,1.命题分析预测 本讲在近五年的全国卷中未考查,但却是自主命题地区的命题热点,常考查定积分的求解,定积分的应用(求平面图形的面积),多以选择题、填空题的形式出现,题目较简单,预测在2019年的全国
2、卷中命题的概率 依然不大. 2.学科核心素养 本讲通过定积分与微积分基本定理及其应用考查考生的 直观想象和数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 定积分 考点2 微积分基本定理,理科数学 第三章 ：导数及其应用,1. 定积分的概念 一般地,设函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a,b等分为n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式 =1 f(i)x= =1 f(i). 其中f(x)叫作被积函数,区间a,b叫作积分区间,a叫作积分下限,b叫作积分上限,x叫作积分变量,f(x)dx叫作被积式.,考点1 定积
3、分,2.定积分的性质 (1) kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数); (2) f1(x)f2(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx; (3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb).,理科数学 第三章 ：导数及其应用,说明 (1)求分段函数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根据定积分的性质(3)进行计算.(2)定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即 f(x)dx= f(t)dt=,称为积分形式的不变性.,3.定积分的几何意义,理科数学 第三章 ：导数及其应用,一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数
4、,并且F(x)=f(x),那么 f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式. 通常记作 f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a). 如果F(x)=f(x),那么称F(x)是f(x)的一个原函数.,考点2 微积分基本定理,与基本初等函数有关的定积分,规律总结,理科数学 第三章 ：导数及其应用,(1) cdx=cx ; (2) xndx= +1 +1 (n-1); (3) sin xdx=-cos x ; (4) cos xdx=sin x ; (5) 1 dx=ln|x| ; (6) exdx=ex .,B考法帮题型全突破,考法1 求定积分 考法2
5、 定积分的应用,理科数学 第三章 ：导数及其应用,示例1 计算下列定积分: (1) 1 2 2 dx;(2) 0 cos xdx ;(3) 1 3 (2x- 1 2 )dx.,思路分析 求出被积函数的原函数即可得出结果.,解析 (1)因为(ln x)= 1 ,所以 1 2 2 dx =2 1 2 1 dx =2ln x= 1 2 =2(ln 2-ln 1)=2ln 2. (2)因为(sin x)=cos x,所以 0 cos xdx =sin x 0 =sin -sin 0=0. (3)因为(x2)=2x,( 1 )=- 1 2 ,所以 1 3 (2x- 1 2 )dx = 1 3 2xdx
6、+ 1 3 (- 1 2 )dx =x2 1 3 + 1 = 22 3 .,1 3,考法1 求定积分,示例2 利用定积分的几何意义计算下列定积分: (1) 0 1 1(1 ) 2 dx; (2) 5 5 (3x3+4sin x)dx. 解析 (1)根据定积分的几何意义,可知 0 1 1(1 ) 2 dx 表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的 1 4 (如图中阴影部分). 故 0 1 1(1 ) 2 dx= 4 .,理科数学 第三章：导数及其应用,(2) 设y=f(x)=3x3+4sin x, 则f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x),所以f(x)
7、=3x3+4sin x在-5,5上是奇函数. 所以 5 0 (3x3+4sin x)dx=- 0 5 (3x3+4sin x)dx. 所以 5 5 (3x3+4sin x)dx= 5 0 (3x3+4sin x)dx+ 0 5 (3x3+4sin x)dx=0.,理科数学 第三章：导数及其应用,方法总结 求定积分的4大常用方法,理科数学 第三章 ：导数及其应用,考法2 定积分的应用,1.求平面图形的面积,示例3 求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.,思维导引 求出两曲线的交点坐标,可将所围成的平面图形进行适当分割,利用定积分的几何意义转化为求定积分的值.,解析 如图所示,
8、解方程组 2 =2, =4, 得两交点 的坐标分别为(2,-2),(8,4).,解法一 选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作两部分 面积之和,即S=2 0 2 2 dx+ 2 8 ( 2 -x+4)dx=18. 解法二 选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分的面积S= 2 4 (y+4-1 2 y2)dy=18.,理科数学 第三章 ：导数及其应用,答题模板 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: (1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出曲线的交点坐标,确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.,理科数学 第三章 ：导数及其应用,注意 定积
9、分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.定积分的上、下限的顺序不能颠倒.,感悟升华 求曲边梯形面积的几种类型 设阴影部分的面积为S,则对如图所示四种情况分别有:,理科数学 第三章：导数及其应用,(1)S= f(x)dx; (2)S=- f(x)dx; (3)S= f(x)dx- f(x)dx; (4)S= f(x)dx- g(x)dx= f(x)-g(x)dx.,2.定积分在物理中的应用,理科数学 第三章 ：导数及其应用,示例4 一物体A以速度v(t)=t2-t+6作直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是A.26.5 B.53
10、 C.31.5 D.63,思维导引 利用微积分基本定理求解.,解析 由题意可得,在t=1到t=4这段时间内物体A运动的路程是,S= 1 4 (t2-t+6)dt=( 1 3 t3- 1 2 t2+6t) 1 4 =( 64 3 -8+24)-( 1 3 - 1 2 +6)=31.5.,答案 C,感悟升华 定积分在物理中的应用,理科数学 第三章 ：导数及其应用,(1)变速直线运动的路程：如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s= v(t)dt; 如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)
11、0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=- v(t)dt. (2)变力做功：物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(ab),则变力F(x)所做的功W= F(x)dx.,拓展变式1 从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔的高为 ( ) A. 1 2 gB.g C. 3 2 g D.2g,理科数学 第三章 ：导数及其应用,1. C 由题意知电视塔的高为 1 2 gtdt= 1 2 gt2 1 2 =2g- 1 2 g= 3 2 g.,拓展变式2 设y
12、=f(x)为区间0,1上的连续函数,且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算积分 0 1 f(x)dx,先产生两组(每组N个)在区间0,1上的均匀随机数x1,x2,xN和y1,y2,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,N),再数出其中满足yif(xi)(i=1,2,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得积分 0 1 f(x)dx的近似值为 .,理科数学 第三章 ：导数及其应用,理科数学 第三章 ：导数及其应用,2. N1 N 因为0f(x)1,所以由积分的定义知, 0 1 f(x)dx是 由直线x=0,x=1及曲线y=f(x)与x轴围成的面积.又因为 产生的随机数对应在如图所
13、示的正方形内,正方形的 面积为1,且共有N个数对,即N个点,而满足yif(xi)的有 N1个点,即在函数f(x)的图象上及f(x)的图象下方有N1 个点,所以用几何概型的概率公式得, f(x)在直线x=0到x=1上与x轴围成的面积为 N1 N 1= N1 N ,即 0 1 f(x)dx= N1 N .,C方法帮素养大提升,易 错 平面图形上下边界弄错致误,理科数学 第三章 ：导数及其应用,示例5 2019昆明模拟如图所示,由两条 曲线y=-x2,y=- 1 4 x2,及直线y=-1所围成的平 面图形的面积为 .,错因分析 本题易出现的错误是:(1)误认为线段CA,BD是平面图形的下边界而得到错
14、误答案;(2)被积函数搞错致误.,易 错 平面图形上下边界弄错致误,解析 由 y=x2 y=1 ，得交点A(-1,-1),B(1,-1). 由 y= 1 4 x2 y=1 ，得交点C(-2,-1),D(2,-1).所以所求面积S=2 0 1 (- 1 4 x2+x2)dx+0 1 (- 1 4 x2+1)dx= 3 4 .,理科数学 第三章 ：导数及其应用,素养提升 (1)当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象时,可在交点处作x轴的垂线,从而确定积分上、下限,分段求面积. (2)被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减去下边界的函数解析式. 定积分及其应用综合体现了直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养,引导学生会用数学思维思考问题,体现了数学的严谨性.,理科数学 第三章 ：导数及其应用,
