1、第二讲 平面向量的数量积及应用,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 平面向量的数量积,考点2 平面向量应用举例,考法1 平面向量的数量积运算,考法2 平面向量的模长、夹角的计算,考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用,考法4 向量在物理中的应用,考法5 向量与其他知识的综合应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,专题 有关数量积的最值(范围)问题,文科数学 第五章：平面向量,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第五章：平面向量,命题规律,1.命题分析预测 本讲在高考中主要考查向量的数量积运算,利用向量数量积解决模长、夹角问
2、题,平行或垂直问题,有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题,主要以小题的形式出现,分值5分,难度不大. 2.学科核心素养 本讲主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 平面向量的数量积 考点2平面向量应用举例,文科数学 第五章：平面向量,1.向量的夹角,考点1 平面向量的数量积（重点）,思维拓展 1.两个向量夹角的范围为0,两条直线夹角的范围为0, 2 . 2.两个向量a,b的夹角为锐角ab0且向量a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角ab0且向量a,b不共线.,文科数学 第五章：平面向量,2.平面向量的数量积注意
3、投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.,文科数学 第五章：平面向量,3.向量数量积的运算律 (1)ab=ba; (2)(a)b=(ab)=a(b); (3)(a+b)c=ac+bc. 注意 注意实数运算律与向量数量积运算律的区别与联系. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.,文科数学 第五章：平面向量,注意 向量平行与垂直的坐标公式不要记混.,文科数学 第五章：平面向量,1.向量在平面几何中的应用 基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示
4、出来.,考点2 平面向量应用举例,思维拓展 三角形“四心”的向量表示 在ABC中,若| |=| |=| |或 2 = 2 = 2 ,则点O是ABC的外心; 在ABC中,若 + + =0,则点G是ABC的重心; 在ABC中,若 = = ,则点H是ABC的垂心; 对于ABC,O,P为其所在平面内的任意两点,若 = +( | | + | | )(0),则直线AP过ABC的内心.,文科数学 第五章：平面向量,2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它们的分解与合成可以用向量的加法或减法来解决. (2)物理中的功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=Fs=|F|
5、s|cos .,文科数学 第五章：平面向量,B考法帮题型全突破,考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的模长、夹角的计算 考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用 考法4 向量在物理中的应用 考法5 向量与其他知识的综合应用,文科数学 第五章：平面向量,考法1 平面向量的数量积运算,1.求平面向量数量积 示例1 (1)2019江西名校高三质检已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2, -6),|b|= 10 ,则ab= . (2)如图,在梯形ABCD中,ABCD,CD=2,BAD= 4 ,若 =2 ,则 = .,解析 (1)因为a=(-2,-6),所以|a|= (2 ) 2 +(6
6、) 2 =2 10 ,又|b|= 10 ,向量a与b的夹角为60,所以ab=|a|b|cos 60=2 10 10 1 2 =10. (2)解法一 (利用向量的加、减法运算和数量积的定义求解)因为 =2 ,所以 - = ,所以 = . 因为ABCD,CD=2,BAD= 4 ,所以2| |=| | |cos 4 ,化简得| |=2 2 .(利用ab=|a|b|cos 求解) 故 = ( + )= | | 2 + = (2 2 ) 2 +2 2 2cos 4 =12.,文科数学 第五章：平面向量,解法二 (利用向量的坐标运算求解)如图,建立平面直角坐标系xAy.依题意,可设点D(m,m),C(m+
7、2,m),B(n,0),其中m0,n0, 则由 =2 ,得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m), 所以n(m+2)=2nm,化简得m=2. 故 =(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12.(利用ab=x1x2+y1y2求解),文科数学 第五章：平面向量,方法总结 求向量a,b的数量积ab的三种方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2; 当已知向量是非坐标形式时,若图形适合建立平面直角坐标系时,可建立坐标系,运用坐标法求解.
8、 (3)利用数量积的几何意义求解.,文科数学 第五章：平面向量,2.向量的投影问题 示例2 2018河北省武邑四模ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足 = 1 2 ( + ),| |=| |,则 在 方向上的投影等于 A.- 3 2 B. 3 2 C. 3 2 D.3,文科数学 第五章：平面向量,思维导引 先根据已知确定点O的位置,然后判断OAC的形状,再利用三角形的边长与内角直接求解. 解析 因为ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足 = 1 2 ( + ), 所以点O在BC上,且O为BC的中点,如图,(确定O点的位置)所以BC是ABC外接圆的直径,故BAC=90.(直径所对的圆周角为直角
9、),文科数学 第五章：平面向量,因为| |=| |=| |,所以OAC是等边三角形, 所以ACB=60,所以ABC=30. 在RtABC中,| |=| |sin 60= 3 ,(解直角三角形) 所以 在 方向上的投影为 | |cosABC=| |cos 30= 3 3 2 = 3 2 .(几何法求投影) 答案 C,文科数学 第五章：平面向量,感悟升华 1.求向量a在向量b方向上的投影的方法 (1)根据定义求解,即a在b方向上的投影为|a|cos; (2)利用数量积求解,即a在b方向上的投影为 |b| . 2.根据数量积求参数的值 若已知两平面向量的数量积,则根据坐标公式或定义列出含有参数的方程
10、,再解方程即可.,文科数学 第五章：平面向量,拓展变式1 (1)已知菱形ABCD的边长为6,ABD=30,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=CF.若 =-9,则的值为( ) A.2B.3C.4D.5 (2)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影是( ) A.-3 5 B.- 3 2 2 C.3 5 D. 3 2 2,文科数学 第五章：平面向量,1.(1)B 依题意得 = + = 1 2 - , = + 1 ,因此 =( 1 2 - )( + 1 )= 1 2 2 - 1 2 +( 1 2 -1) ,于是有( 1 2 - 1
11、)62+( 1 2 -1)62 cos 60=-9,解得=3,故选B. (2)A 依题意,得 =(-2,-1), =(5,5),所以 =-15,| |= 5 ,因此向量 在 方向上的投影是 | | = 15 5 =-3 5 ,故选A.,文科数学 第五章：平面向量,考法2 平面向量的模长、夹角的计算,1.求向量的模长问题 示例3 (1)2019湘中名校联考已知向量a=(x, 3 ),b=(x,- 3 ),若(2a+b)b,则|a|= A.1 B. 2 C. 3 D.2 (2)设向量a,b满足|a|=2,|b|=|a+b|=3,则|a+2b|= . (3)已知向量a=(cos,sin ),b=(-
12、 3 ,1),则|2a-b|的最大值为 .,解析 (1)因为(2a+b)b,所以(2a+b)b=0,即(3x, 3 )(x,- 3 )=3x2-3=0,解得x=1,所以a=(1, 3 ),所以|a|= (1 ) 2 +( 3 ) 2 =2.故选D. (2)因为|a|=2,|b|=|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=4+9+2ab=9,所以ab=-2,所以|a+2b|= (a+2b ) = |a | +| | = 48+36 =4 2 . (3)解法一 (代数法)由题意得|a|=1,|b|=2,ab=sin - 3 cos =2sin(- 3 ),所以|2a-b|2=4
13、|a|2+|b|2-4ab=412+22-8sin(- 3 )=8-8sin(- 3 ), 所以|2a-b|2的最大值为8-8(-1)=16,故|2a-b|的最大值为4(此时=2k- 6 ,kZ).,文科数学 第五章：平面向量,解法二 (代数法)因为a=(cos,sin ),b=(- 3 ,1),所以2a-b=(2cos + 3 ,2sin -1), 所以|2a-b|= (2cos+ 3 ) 2 + (2sin1) 2 = 84(sin 3 cos) =88sin( 3 ) .故|2a-b|的最大值为 88(1) =4(此时=2k- 6 ,kZ). 解法三 (几何法)设向量a,b的起点均为坐标
14、原点,则向量2a与b的终点均在以坐标原点为圆心、2为半径的圆上,易知|2a-b|的最大值就是圆的直径4(此时向量a,b方向相反). 解法四 (绝对值三角不等式)由题意得|2a-b|2|a|+|b|=21+2=4,当且仅当向量a,b方向相反时不等式取等号,故|2a-b|的最大值为4.,文科数学 第五章：平面向量,方法总结 1.求向量模长的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: (1)a2=aa=|a|2或|a|= ; (2)|ab|= (ab ) = + ; (3)若a=(x,y),则|a|= 2 + 2 . 2.求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法,先把所求的
15、模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;,文科数学 第五章：平面向量,(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解; (3)利用绝对值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|求模的最值(取值范围).注意 在求解与向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对结论(ab)2=|a|2+|b|22ab,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ac)的灵活运用. 另外,向量作为工具性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问题时可以使用数形结合的思想,从而加快解题速度.,文科数学 第五章：平面向量,2.求向量的夹角问题 示例4
16、(1)已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2 = ,设向量 , 的夹角为,则cos = . (2)2017山东,12,5分已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 3 e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是 .,文科数学 第五章：平面向量,解析 (1)解法一 (定义法)因为2 = ,所以E为BC中点.设正方形的边长为2,则| |= 5 ,| |=2 2 , =( + 1 2 )( - )= 1 2 | |2-| |2+ 1 2 = 1 2 22-22=-2,(根据向量的几何意义变形) 所以cos = | | | = 2 5 2 2 =- 10 10 . 解法二 (坐标法)因为2
17、= ,所以E为BC中点. 设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系xAy, 则点A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1),文科数学 第五章：平面向量,所以 =(2,1), =(-2,2),所以 =2(-2)+12=-2,(利用数量积公式ab=x1x2+y1y2求解) 故cos = | | | = 2 5 2 2 =- 10 10 . (2)因为 ( )( + ) | | + | = 3 2 1+ 2 ,且 3 e1-e2与e1+e2的夹角为60, 所以 3 2 1+ 2 = 1 2 ,解得= 3 3 .,文科数学 第五章：平面向量,方法总结 求向量夹角问题的方法 (1)定
18、义法:当a,b是非坐标形时式时,求a与b的夹角,需求出ab及|a|,|b|或得出它们之间的关系,由cos = |a|b| 求得. (2)坐标法:若已知a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则os= 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 2 2 ,0,. (3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.,文科数学 第五章：平面向量,拓展变式2 (1)2018安徽马鞍山二检已知向量a,b满足a=(1, 3 ),|b|=1, |a+b|= 3 ,则a,b的夹角为 . (2)2019合肥市高三调研若a与b的夹角为135,|a|=1,|b|= 2 ,则|a+b|= .,2.
19、(1) 2 3 由题意得|a|= 1+3 =2.因为|a+b|= 3 ,所以a2+2ab+b2=3, 设a,b的夹角为,则4+1+221cos =3,所以cos =- 1 2 ,所以= 2 3 . (2)1 依题意,得|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=3+21 2 (- 2 2 )=3-2=1,所以|a+b|=1.,文科数学 第五章：平面向量,考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用,示例5 2017全国卷,12,5分在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 = + ,则+的最大值为 A.3B.2 2 C. 5 D.2,思维导引 根据已知
20、画出图形,通过建立平面直角坐标系,运用坐标法求解. 解析 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可 得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的 距离为 2 1 2 + 2 2 = 2 5 , 所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2= 4 5 , 因为点P在圆C上,文科数学 第五章：平面向量,所以P(1+ 2 5 5 cos,2+ 2 5 5 sin ), =(1,0), =(0,2), = + =(,2), 所以 1+ 2 5 5 cos=, 2+ 2 5 5 sin=2, 所以+
21、=2+ 2 5 5 cos + 5 5 sin =2+sin(+)3,其中满足tan =2. 所以+的最大值为3. 答案 A,文科数学 第五章：平面向量,感悟升华 用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.,文科数学 第五章：平面向量,拓展变式3 在ABC中,已知 =(2,3), =(1,k),且ABC的一个内
22、角为直角,则实数k的值为 .,3.- 2 3 或 11 3 或 3 13 2 若A=90,则有 =0,即2+3k=0,解得k=- 2 3 . 若B=90,则有 =0,因为 = - =(-1,k-3),所以-2+3(k-3)=0,解得k= 11 3 . 若C=90,则有 =0,即-1+k(k-3)=0,解得k= 3 13 2 . 综上所述,k=- 2 3 或 11 3 或 3 13 2 .,文科数学 第五章：平面向量,考法4 向量在物理中的应用,示例6 质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为,求斜面对物体的摩擦力和支持力的大小.,思维导引 物体共受三个力,在三个力的作用下保持平衡,
23、即它们的合力为0,利用物理学知识和向量的运算即可求解. 解析 如图所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(与斜面平行,向上,大小为|f|). 由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0, 即G+F+f=0 . 记垂直于斜面向下、大小为1 N的力为e1,平行于斜面向下、大小为1 N的力为e2,以e1, e2为基底,则F=(-|F|,0), f=(0,-|f|), 由图知e1与G的夹角为, 则G=(mgcos ,mgsin ). 由,得G+F+f=(mgcos -|F|,mgsin -|f|)=(0,0), 所以mgcos
24、-|F|=0,mgsin -|f|=0. 故|F|=mgcos ,|f|=mgsin . 点评 当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.,文科数学 第五章：平面向量,感悟升华 解决向量在物理中应用的基本方法 平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用,主要体现在以下几个方面: (1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成; (2)动量mv是数乘向量; (3)功是力F与所产生位移s的数
25、量积.,文科数学 第五章：平面向量,考法5 向量与其他知识的综合应用,示例7 2017江苏,16,14分文已知向量a=(cos x,sinx),b=(3,- 3 ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,思维导引 (1)利用向量共线的坐标运算法则及同角三角函数间的关系求解;(2)利用向量数量积的坐标运算、两角和的余弦公式,结合三角函数的图象求解最值. 解析 (1)因为a=(cos x,sinx),b=(3,- 3 ),ab, 所以- 3 cos x=3sinx. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1
26、矛盾,故cos x0. 于是tan x=- 3 3 . 又x0,所以x= 5 6 .,文科数学 第五章：平面向量,(2)f(x)=ab=(cos x,sinx)(3,- 3 )=3cosx- 3 sin x=2 3 cos(x+ 6 ). 因为x0,所以x+ 6 6 , 7 6 , 从而-1cos(x+ 6 ) 3 2 . 于是,当x+ 6 = 6 ,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+ 6 =,即x= 5 6 时,f(x)取到 最小值-2 3 .,文科数学 第五章：平面向量,感悟升华 解决与平面向量有关的综合问题的关键平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查,解题关键是
27、把向量关系转化为向量的有关运算,进一步转化为实数运算,进而利用相关知识求解.,文科数学 第五章：平面向量,拓展变式4 如图,已知A,B是椭圆 2 4 +y2=1的右顶点和上顶点,由椭圆弧 2 4 +y2=1(x0,y0)和线段AB及其内部构成的区域为,P是区域内任意一点(包括边界).设 = + ,则动点M(,)所构成的区域的面积是 .,文科数学 第五章：平面向量,4. 4 - 1 2 易知点A(2,0),B(0,1),所以直线AB的方程为 2 +y=1,即2y=2-x. 设点P(x,y),由题意及题图可得 2 4 + 2 1, 22. 由 = + ,得(x,y)=(2,0)+(0,1), 即
28、=2, =, 所以 (2) 2 4 + 2 1, 222,文科数学 第五章：平面向量,化简得 2 + 2 1, 1. 显然该不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分)即为动点M(,)所构成的区域. 故区域的面积是 1 4 12- 1 2 11= 4 - 1 2 .,文科数学 第五章：平面向量,C方法帮素养大提升,专题 有关数量积的最值(范围)问题,文科数学 第五章：平面向量,专题 有关数量积的最值(范围)问题,示例8 (1)2017全国卷,12,5分已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 ( + )的最小值是 A.-2 B.- 3 2 C.- 4 3 D.-1,思维导引 思
29、路一 利用中线公式写出 + =2 将 ( + )变形为 2( 2 - 2 ) 当点P与点E重合时,求出最小值 思路二 建立平面直角坐标系,根据三角形ABC的特点写出点的坐标 利用向量数量积的坐标表示进行求解,文科数学 第五章：平面向量,解析解法一 结合题意画出图形,如图所示, 设BC的中点为D,AD的中点为E,连接AD,PE,PD, 则有 + =2 , 则 ( + )=2 =2( + )( - )=2( 2 - 2 ). 而 2 =( 3 2 )2= 3 4 ,当点P与点E重合时, 2 有最小值0, 故此时 ( + )取得最小值,最小值为-2 2 =-2 3 4 =- 3 2 .,文科数学 第
30、五章：平面向量,解法二 如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(0, 3 ),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y), 则 =(-x, 3 -y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y), 所以 ( + ) =(-x, 3 -y)(-2x,-2y) =2x2+2(y- 3 2 )2- 3 2 ,当x=0,y= 3 2 时, ( + ) 取得最小值,最小值为- 3 2 . 答案 B,文科数学 第五章：平面向量,示例9 如图所示,正六边形ABCDEF的边长为2,M,N分别是边AB,CD的中点,若P为该正六边形边上的动点,则
31、 的取值范围为 .,文科数学 第五章：平面向量,解析 结合题图及数量积的几何意义,易知当动点P与点A重合时, 取得最小值;当动点P与点D重合时, 取得最大值. 解法一 连接AD,易知MN为梯形ABCD的中位线,所以MN= 2+4 2 =3. 又AM=1,AMN=120,所以 =31cos120=- 3 2 , 故 的最小值为- 3 2 . 连接DM.因为DN=1,MN=3,MND=120,所以在DMN中,先由余弦定理求得DM= 13 ,再由余弦定理求得cosDMN= 7 2 13 ,所以 =3 13 7 2 13,文科数学 第五章：平面向量,= 21 2 ,故 的最大值为 21 2 . 综上可
32、知, 的取值范围为- 3 2 , 21 2 . 解法二 如图,建立平面直角坐标系xMy, 则易知向量 =(-1,0), =(1,2 3 ), =( 3 2 , 3 3 2 ). 所以 =- 3 2 ,故 的最小值为- 3 2 . = 21 2 ,故 的最大值为 21 2 . 所以 的取值范围为- 3 2 , 21 2 .,文科数学 第五章：平面向量,解后反思 本题以熟悉的正六边形为载体考查数量积的取值范围,亮点体现在题目涉及动点,不便于直接利用向量的坐标运算加以求解,而需要依据数量积的几何意义作为解题切入点加以分析.本题对解题能力的考查较强.求解的难点有:一是准确分析 取得最值时的具体情形是什么;二是结合图形计算 的最值.通过比较本题的解法一和解法二可知,解法二更为简单明了.,文科数学 第五章：平面向量,素养提升 平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路 一是“形化”,即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断; 二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.,文科数学 第五章：平面向量,
