1、第3讲 基本不等式,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 基本不等式 考点2 基本不等式与最值,考法1 利用基本不等式求最值 考法2 利用基本不等式解决实际问题 考法3 利用基本不等式证明不等式,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 忽略应用基本不等式的前提条件致误,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的热点,主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等,常与函数结合命题,解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件. 2.学科核心素养 本讲通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算素养.
2、,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 基本不等式 考点2 基本不等式与最值,考点1 基本不等式,1.基本不等式 如果a0,b0,那么 + 2 ,当且仅当a=b时,等号成立. 其中, + 2 叫作a,b的算术平均数, 叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.几个常用的重要结论 (1)a2+b22ab(a,bR,当且仅当a=b时取等号). (2)a+b2 (a0,b0,当且仅当a=b时取等号). (3)ab( + 2 )2(a,bR,当且仅当a=b时取等号).,(4)a+ 1 2(a0,当且仅当a=1时取等号);a+ 1 -2(a0,b0,当且仅当a=b
3、时取等号). 注意 在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.,考点2 基本不等式与最值,最值定理: 已知x0,y0. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 2 4 (简记:和定积最大); (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 2 (简记:积定和最小). 注意 (1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.,B考法帮题型全突破,文科数学 第七章：不等式,考法1 利用基本不等式求最值 考法2 利用基本不等式解决实
4、际问题 考法3 利用基本不等式证明不等式,考法1 利用基本不等式求最值,1.代数式最值的求解 示例1 (1)2018辽宁两校联考已知ab0,则a+ 4 + + 1 的最小值为 A. 3 10 2 B.4 C.2 3 D.3 2 (2)设0x 3 2 ,则函数y=4x(3-2x)的最大值为 .,思维导引 (1)观察式子结构特征将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式利用基本不等式求最值 (2)观察式子结构特征拼系数,凑出和为定值的形式利用基本不等式求最值,解析 (1) 因为a= 1 2 (a+b)+(a-b), 所以a+ 4 + + 1 = 1 2 (a+b)+ 4 + + 1 2 (a
5、-b)+ 1 .(变形凑成积为定值) 因为ab0,所以a+b0,a-b0. 由基本不等式可 1 2 (a+b)+ 4 + 2 1 2 (a+b)+ 4 + =2 2 ,当且仅当 1 2 (a+b)= 4 + 即a+b=2 2 时,等号成立;1 2 (a-b)+ 1 2 1 2 (ab)+ 1 = 2 ,当且仅当 1 2 (ab)= 1 即a-b= 2 时,等号成立. 由 +=2 2， = 2 , 解得 = 3 2 2 , = 2 2 . (检验等号成立的条件) 所以当 = 3 2 2 , = 2 2 时,中的等号同时成立. 故a+ 4 + + 1 的最小值为2 2 + 2 =3 2 .故选D.
6、,(2)y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2 2+(32) 2 2= 9 2 ,当且仅当2x=3-2x,即x= 3 4 时,等号成立. 因为 3 4 (0, 3 2 ), 所以函数y=4x(3-2x)(0x 3 2 )的最大值为 9 2 .,2.条件最值的求解 示例2 若直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),则 1 + 2 的最小值为 A.2 B.6 C.12 D.3+2 2,思维导引 把点的坐标代入直线的方程得m与n的关系式把 1 + 2 变换后进行“1”的代换利用基本不等式求最值,解析 因为直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2), 所以2m+2n-2
7、=0,即m+n=1, 所以 1 + 2 =( 1 + 2 )(m+n)=3+ + 2 3+2 2 ,(运用“1”的代换求解) 当且仅当 = 2 ,即n= 2 m时取等号, 所以 1 + 2 的最小值为3+2 2 . 答案 D,拓展变式1 2018山东、湖北部分重点中学冲刺模拟已知D,E分别是ABC的边AB,AC的中点,M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),且满足 = + ,则 1 + 2 的最小值为( ) A.4 2 B.8 C.6-4 2 D.6+4 2,解析 1.D 由于M是线段DE上的一动点(不包含D,E两点),D,E分别是AB,AC的中点,所以 = + =2 +2 ,所以,0且2
8、+2=1. 解法一 由2+2=1,得= 12 2 . 由0,得0 1 2 , 所以 1 + 2 = 1 + 2 12 2 = 1 + 4 12 = 12+4 (12) = 1+2 (12) . 令t=1+2,则t(1,2),所以 1+2 (12) = 1 2 (2t) = 2 (1)(2) = 2 2 +32 = 2 ( 2 +)+3 . 由基本不等式可得 2 +t2 2 (当且仅当 2 =t,即t= 2 时等号成立). 又t(1,2),所以 2 +t3. 所以0-( 2 +t)+33-2 2 ,故 2 ( 2 +)+3 2 32 2 =6+4 2 . 所以 1 + 2 的最小值为6+4 2
9、.选D.,解法二 1 + 2 =( 1 + 2 )(2+2)=6+ 2 + 4 6+4 2 (当且仅当= 2 1 2 ,= 2 2 2 时取等号). 故 1 + 2 的最小值为6+4 2 .选D.,【解后反思】 该题由已知得到2+2=1之后,解法一利用了“消元代换法”,即将问题转化为一个变元的问题求解,然后通过换元变形构造基本不等式求解最值;而解法二则是利用常数“1”的代换,将目标代数式进行等价变形整理得到“积为常数”的形式,从而利用基本不等式求解最值.,考法2 利用基本不等式解决实际问题,示例3 经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3- +1
10、 (k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?,思维导引,解析 (1)由题意可知,当m=0时,x=1, 1=3-k,解得k=2,即x=3- 2 +1 ,(代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.5 8+16 (万元), 2018年的利润y=x(1.5 8+16 )-
11、(8+16x+m)(建模,利润=总收入-总投入) =4+8x-m =4+8(3- 2 +1 )-m =28- 16 +1 -m(m0).,y与m之间的函数关系式是y=28- 16 +1 -m(m0). (2)由(1)知y=- 16 +1 +(m+1)+29(m0). 当m0时, 16 +1 +(m+1)2 16 +1 (+1) =8,(利用基本不等式求最值) 当且仅当 16 +1 =m+1,即m=3时取等号. y-8+29=21, 即当m=3时,y取得最大值,为21. 当该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.,拓展变式2 随着社会的发展,汽车逐步成为人们的代步
12、工具,家庭轿车的持有量逐年上升,交通堵塞现象时有发生,据调查某段公路在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有函数关系:y= 900 2 +8+1600 (v0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量约为多少?(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?,解析 2.(1)由题意知,v0,则y= 900 2 +8+1600 = 900 + 1600 +8 900 80+8 = 900 88 = 225 22 ,当且仅当v= 1600 ,即v=40时取等号. 所以y
13、max= 225 22 10.23. 故当v=40时,车流量y最大,最大约为10.23千辆/时. (2)由y= 900 2 +8v+1600 10,得 90 2 +8v+1600 1,即90vv2+8v+1 600,整理得v2-82v+1 6000,即(v-32)(v-50)0,解得32v50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时.,考法3 利用基本不等式证明不等式,示例4 (1)已知a,b,cR,求证:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c); (2)设a,b均为正实数,求证: 1 2 + 1 2 +
14、ab2 2 .,解析 (1)a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,当且仅当a4=b4=c4时取等号, 2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2. 又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,当且仅当a2=b2=c2时取等号,c2a2+a2b22a2bc, 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).,(2)a
15、,b均为正实数, 1 2 + 1 2 2 1 2 1 2 = 2 ,当且仅当 1 2 = 1 2 ,即a=b时等号成立. 2 +ab2 2 =2 2 ,当且仅当 2 =ab时等号成立, 所以 1 2 + 1 2 +ab 2 +ab2 2 , 当且仅当 1 2 = 1 2 2 =ab 即a=b=时取等号.(多次使用不等式,等号要同时成立),拓展变式3 已知a0,b0,a+b=1, 求证:(1+ 1 )(1+ 1 )9.,解析 3.解法一 a0,b0,a+b=1,1+ 1 =1+ + =2+ . 同理,1+ 1 =2+ .,(1+ 1 )(1+ 1 )=(2+ )(2+ )=5+2( + )5+4
16、=9,当且仅当 = ,即a=b= 1 2 时取“=”. (1+ 1 )(1+ 1 )9,当且仅当a=b= 1 2 时等号成立. 解法二 (1+ 1 )(1+ 1 )=1+ 1 + 1 + 1 =1+ + + 1 =1+ 2 . a0,b0,a+b=1,ab( + 2 )2= 1 4 ,当且仅当a=b= 1 2 时取“=”. 1 4, 2 8,当且仅当a=b= 1 2 时取“=”. (1+ 1 )(1+ 1 )1+8=9,当且仅当a=b= 1 2 时等号成立.,C方法帮素养大提升,易错 忽略应用基本不等式的前提条件致误,示例5 若x 1 2 ,则f(x)= 1 21 +4x A.有最小值2+2
17、2 B.有最大值2+2 2 C.有最小值2-2 2 D.有最大值2-2 2 易错分析 本题有两个易错点:一是不会将4x变为2(2x-1)+2,导致错误;二是忽略2x-10,直接利用基本不等式求解,导致错误.,易错 忽略应用基本不等式的前提条件致误,解析 由题意可知,f(x)= 1 21 +2(2x-1)+2. 因为x 1 2 ,所以2x-10. 所以 1 21 +2(2x-1)=-2(1-2x)+ 1 12 -2 2(12x)+ 1 12 =-2 2 , 当且仅当 1 21 =2(2x-1),即x= 2 2 4 时等号成立. 所以f(x)2-2 2 ,即f(x)有最大值2-2 2 . 答案 D,
