1、选修4-4 坐标系与参数方程,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 坐标系 考点2 参数方程,考法1 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化 考法2 极坐标方程的应用 考法3 参数方程与普通方程的互化 考法4 参数方程的应用 考法5 极坐标方程与参数方程的综合应用,B考法帮题型全突破,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,该选修主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与普通方程的互化,根据极坐标方程或参数
2、方程求弦长、面积、最值等,其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值,利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点,主要以解答题的形式出现,分值10分,难度中等. 2.学科核心素养 本讲通过极坐标(方程)和参数方程的应用考查学生的数学运算、逻辑推理素养和转化与化归思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 坐标系 考点2 参数方程,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考点1 坐标系（重点）,1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:=(0), =(0) 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸
3、缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系,点O称为极点,射线Ox称为极轴.则平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从,射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图1所示).这两个数组成的有序数对(,)称为点M的极坐标,称为点M的极径,称为点M的极角.一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)(0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径=0,极角可取任意角.图1 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提:直角坐
4、标系的原点与极点重合;x轴的正半轴与极轴重合;,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,在两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式:设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),如图2所示,则极坐标与直角坐标的互化公式为 =cos, =sin, 可得 2 = 2 + 2 , tan= (0).,注意 把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将不唯一.,图2,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,4.简单曲线的极坐标方程,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,续表,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,
5、考点2 参数方程（重点）,1.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普通方程需消去参数. (2)如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如,x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t的关系y=g(t),那么 =(), =() 就是曲线的参数方程.,注意 (1)在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一,即如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,2.直线曲线的参数方程和普通方程,文科数学选修4
6、-4：坐标系与参数方程,B考法帮题型全突破,考法1 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化 考法2 极坐标方程的应用 考法3 参数方程与普通方程的互化 考法4 参数方程的应用 考法5 极坐标方程与参数方程的综合应用,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法1 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,示例1 (1)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r0)为极坐标方程; (2)化曲线的极坐标方程=8sin 为直角坐标方程.,思维导引 利用极坐标、直角坐标转换公式可以把直角坐标方程转化为极坐标方程,也可将极坐标方程转化成直角坐标方程. 解析 (1)将x=cos,y=sin代入x2+y2=r2(r
7、0),得2cos2+2sin2=r2,即=r. 所以,以极点为圆心、r为半径的圆的极坐标方程为=r(02). (2)解法一 把= 2 + 2 ,sin = 代入=8sin ,得 2 + 2 =8 2 + 2 ,化简得x2+y2-8y=0, 即x2+(y-4)2=16. 解法二 方程=8sin 两边同时乘以,得2=8sin ,因为2=x2+y2,sin =y,所以x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16.点评 极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(除以)等技巧.解题时要注意两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件.,文科数学选修4-4：坐标系与
8、参数方程,方法总结 1.极坐标与直角坐标互化的方法 (1)将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)时,运用公式= 2 + 2 ,tan = (x0)即可.在0,2范围内,由tan = (x0)求时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许R,再根据终边相同的角的意义,表示为+2k(kZ)即可. (2)将点的极坐标(,)化为直角坐标(x,y)时,运用公式x=cos,y=sin即可.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,直角坐标方程,极坐标方程,2.极坐标方程与直角坐标方程互化的方法,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,拓展变式1 将下列直角坐标方程与极坐标方程互化. (1)y2=
9、4x; (2)2cos 2=4.,1.(1)将x=cos ,y=sin 代入y2=4x,得(sin )2=4cos ,化简得sin2=4cos . (2)因为2cos 2=4,所以2cos2-2sin2=4,即x2-y2=4.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,(2)解法一 把= 2 + 2 ,sin = 代入=8sin , 得 2 + 2 =8 2 + 2 ,化简得x2+y2-8y=0, 即x2+(y-4)2=16. 解法二 方程=8sin 两边同时乘以,得2=8sin ,因为2=x2+y2,sin =y,所以x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16.点评 极坐标方程与直角坐标方
10、程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法2 极坐标方程的应用,示例22018 贵州贵阳适应性考试过极点O作圆C:=8cos 的弦ON. (1)求弦ON的中点M的轨迹E的极坐标方程; (2)若P,Q分别是曲线C和E上两点,且OPOQ,证明: 2 64 + 2 16 是定值.,思维导引 (1)仿照直角坐标系中求动点轨迹的方法,求弦ON的中点M的轨迹E的极坐标方程;(2)利用OPOQ时,极角与极径之间的关系进行处理.,解析 (1)设M(,),N(1,),则1=2. 因为N(1,)在圆=8cos
11、 上,所以1=8cos ,即2=8cos . 故弦ON的中点M的轨迹E的极坐标方程是=4cos . (2)设点Q的极坐标是(2,),则点P的极坐标是(3, 2 ). 因为3=8cos( 2 )=8sin ,2=4cos ,所以 2 64 + 2 16 = 3 2 64 + 2 2 16 = 64 sin 2 64 + 16 cos 2 16 =sin2+cos2=1,即 2 64 + 2 16 是定值.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解后反思求动点轨迹的极坐标方程的一般步骤是:审题、设点、列式、化简、检验.本题中动弦ON导致动点M.设动点M的极坐标为(1,),N的极坐标为(,),利用1
12、=8cos 和1=2即可得到点M的轨迹E的极坐标方程为=4cos .处理定值问题要善于利用极角和极径的关系变形、化简,注意坐标变换.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,方法总结 求解与极坐标有关问题的主要方法 (1)直接法:直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用; (2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,拓展变式2 2018 安徽高考最后一卷在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+(y-2)2=4.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同. M
13、为曲线C1上异于极点的动点,点N在射线OM上,且|ON|OM|=20,记点N的轨迹为C2. (1)求曲线C1,C2的极坐标方程; (2)根据极坐标方程,判断曲线C1,C2的位置关系.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,2.(1)曲线C1的直角坐标方程是x2+(y-2)2=4,即x2+y2=4y.将x=cos ,y=sin 代入,得2=4sin . 故曲线C1的极坐标方程为=4sin . 设N(,),M(1,),由|ON|OM|=20,即1=20, 得1= 20 . 又1=4sin ,所以 20 =4sin ,所以sin =5. 故曲线C2的极坐标方程为sin =5.,文科数学选修4-4：坐
14、标系与参数方程,(2)由 sin =5， =4 sin ， 得sin2= 5 4 ,无实数解,因此曲线C1和曲线C2没有公共点,易知曲线C1是圆,曲线C2是直线,所以C1与C2相离. 技巧点拨 将 = cos = sin 代入直角坐标方程化简整理得到关于,的等式,即为直角坐标方程对应的极坐标方程.求动点轨迹的极坐标方程,可先设出动点的极坐标,然后根据点与点之间的极坐标的关系和题设条件处理.根据极坐标方程判断曲线的位置关系时,只需联立曲线的极坐标方程得方程组,判断方程组解的情况即可.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法3 参数方程与普通方程的互化,示例3 2018 重庆适应性考试设曲线C
15、的参数方程是 = cos , = cos 2+1 (为参数). (1)求曲线C的普通方程; (2)已知点P(1,-2),点Q为曲线C上任意一点,求 的最大值(O为坐标原点).,思维导引 (1)利用三角函数关系消去参数即可得到曲线C的普通方程;(2)利用向量的坐标运算建立 关于x的目标函数,求其最大值.,解析 (1)y=cos 2+1=2cos2,将x=cos 代入,得x2= 1 2 y. 因为-1cos 1,所以-1x1.故曲线C的普通方程是x2= 1 2 y(-1x1).(注意参数方程中关于x的隐含条件) (2)设Q(x,y), 则 =(1,-2)(x,y)=x-2y=x-4x2=-4(x-
16、 1 8 )2+ 1 16 . 因为 1 8 -1,1,所以当x= 1 8 时, 取得最大值 1 16 ,即 的最大值为 1 16 .,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,感悟升华 1.将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程时,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin2+cos2=1等; (2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方
17、程,2.将普通方程化为参数方程的方法 只要适当选取参数t,确定x=f(t),再代入普通方程,求得y=g(t),即可化为参数方程 =(), =(). 注意参数t的意义和取值范围. 选取参数的原则:(1)曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单;(2)当参数取某一个值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与时间有关的问题,常取时间作为参数;与旋转有关的问题,常取旋转角作为参数.此外也常常用线段的长度,直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,2018河北石家庄三模在参数方程 =+ cos =+ sin (t为参数)所表示的直线l上有B,C两点,它们对应的参
18、数值分别为t1,t2. (1)求线段BC的中点M对应的参数值; (2)若a=b=1,直线l与y2=2x交于点S,T,且(1,1)是弦ST的中点,求此时直线l的普通方程.,拓展变式3,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解析(1)设B(xB,yB),C(xC,yC),M(xM,yM),由参数方程得 =+ 1 cos , =+ 1 sin , =+ 2 cos , =+ 2 sin , 于是xM= + 2 =a+ 1 + 2 2 cos ,yM= + 2 =b+ 1 + 2 2 sin . 所以线段BC的中点M对应的参数值是 1 + 2 2 . (2)将 =1+ cos , =1+ sin 代入
19、y2=2x,得(1+tsin )2=2(1+tcos ), 即sin2t2+(2sin -2cos )t-1=0.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,所以S,T对应的参数t3,t4满足t3+t4=- 2 sin 2 cos sin 2 . 由(1)知,(1,1)对应的参数值是 t3+t4 2 =- sin cos sin 2 ,其值为0,即sin -cos =0,所以tan =1. 故此时直线l的普通方程是 y-1=1(x-1),即x-y=0.,核心素养 本题主要体现对逻辑推理和数学抽象等核心素养的考查,从B,C两点在直线上,满足直线的参数方程出发,推出关系式xM=a+ 1 + 2 2 c
20、os 和yM=b+ 1 + 2 2 sin ,得出线段BC的中点M对应的参数值为 1 + 2 2 .由此还可以将结论一般化,升华推理层次.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法4 参数方程的应用,示例4 2018安徽安庆二模在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C:sin2 =2acos (a0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为 =2+ 2 2 , =4+ 2 2 (t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点. (1)求a的取值范围; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.,思维导引 (1
21、)由题意知曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a0),将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,令0即可求得结果. (2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2,由参数方程中t1,t2的几何意义可得t1+t2=2(4 2 + 2 a),t1t2=2(16+4a),然后由|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,可得 | 1 2 | 2 =|t1t2|,代入求解即可.,解析(1)由题意可得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a0),将直线l的参数方程 x=2+ 2 2 t y=4+ 2 2 t ,(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,得 1 2 t2-(4
22、2 + 2 a)t+16+4a=0, 因为直线l与曲线C交于M,N两点,所以0,即a0或a0,所以a的取值范围为(0,+). (2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.则由(1)知t1+t2=2(4 2 + 2 a),t1t2=2(16+4a),|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.(参数t的几何意义的应用) 若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t1-t2|2=|t1t2|, 解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,技巧点拨 1.直线方程中参数t的几何意义的应用 经过点P(x0,y0),倾斜角为的直线l
23、的参数方程为 = 0 +cos, = 0 +sin (t为参数).若A,B为直线l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t0= 1 + 2 2 ; (2)|PM|=|t0|=| 1 + 2 2 |;,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,(3)|AB|=|t2-t1|; (4)|PA|PB|=|t1t2|. 注意 在直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义,其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,示
24、例5 2017全国卷,22,10分理在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 =3cos, =sin (为参数),直线l的参数方程为 =+4, =1 (t为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l的距离的最大值为 17 ,求a.思路分析 (1)将曲线C和直线l的参数方程均化为普通方程,联立得方程组求出交点坐标;(2)利用点到直线的距离公式得到关于a的方程,进而求出a的值.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解析 (1)曲线C的普通方程为 2 9 +y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由 +43=0, 2 9 + 2 =1, 解得 =
25、3, =0 或 = 21 25 , = 24 25 . 从而C与l的交点坐标为(3,0),(- 21 25 , 24 25 ). (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin)到l的距离为d= |3cos+4sin4| 17 = |5sin(+)4| 17 (其中满足sin = 3 5 ,cos = 4 5 ).,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,当a-4时,d的最大值为 +9 17 . (借助辅助角公式并讨论-a-4的符号,从而得出d的最大值,这是求解的关键) 由题设得 +9 17 = 17 ,所以a=8. 当a-4时,d的最大值为 +1 17 . 由题设
26、得 +1 17 = 17 ,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,感悟升华 解决与椭圆、双曲线参数方程有关的应用问题的基本策略 求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时,往往通过参数方程引入三角函数,再借助三角函数的性质进行求解.掌握参数方程与普通方程互化的规律是求解此类问题的关键.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,2018 海南海口四模在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为=4sin .现以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C2的参数方程为 =1+7t =3+ (t为参数). (1)
27、求曲线C1的参数方程和曲线C2被曲线C1截得的弦长; (2)若A(0,3),B(2,5),直线AB与C1交于R,S两点,求|AR|-|AS|的值.,拓展变式4,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解析(1)因为=4sin ,所以2=4sin ,即x2+(y-2)2=4.故曲线C1的参数方程为 =2 cos =2+2 sin (为参数).由 =1+7t =3+ 消去参数t,得到曲线C2的普通方程为x-7y+20=0. 易知曲线C1的圆心(0,2)到曲线C2的距离d= 14+20 1+49 = 3 2 5 . 故曲线C2被曲线C1截得的弦长是2 4 18 25 = 2 82 5 . (2)由题意
28、知kAB=1,即直线AB的倾斜角为 4 ,所以直线AB的参数方程为,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,= 2 2 ， =3+ 2 2 将其代入曲线C1的直角坐标方程x2+(y-2)2=4,整理得t2+ 2 t-3=0. 易知=( 2 )2-4(-3)=140,设t1,t2为方程t2+ 2 t-3=0的两根,则t1+t2=- 2 ,t1t2=-30,所以|AR|-|AS|=|t1+t2|= 2 .,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法5 极坐标方程与参数方程的综合应用,示例6 2019河北六校联考在直角坐标系xOy中,点P(0,-1),曲线C1: = cos =1+ sin (t为参数
29、),其中0,在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:+cos 2=8sin . (1)若= 4 ,求C1与C2公共点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点,当|PM|= 40 9 时,求sin 的值.,思维导引(1)先将曲线C1化为普通方程,C2化为直角坐标方程,然后联立方程求出交点坐标;(2)将直线的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得到关于t的一元二次方程,表示出|PM|,利用条件即可求出sin 的值. 解析 (1)若= 4 ,则曲线C1的普通方程为y=x-1,曲线C2的直角坐标方程为x2=4y,由 =1, 2 =4 , 解得 =1,
30、=2. 所以C1与C2公共点的直角坐标为(2,1).,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,(2)将C1: = cos =1+ sin 代入x2=4y得, (cos2)t2-4(sin )t+4=0, 由=16sin2-16cos20得,sin 2 2 . 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2= 4 sin cos 2 , 由|PM|=| 1 + 2 2 |= 2 sin cos 2 = 40 9 ,得20sin2+9sin -20=0, 解得sin = 4 5 .,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,感悟升华 转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的
31、考查中,灵活地利用转化与化归思想可以使问题得到简捷的解答.例如,将题设条件中涉及的极坐标方程等价转化为直角坐标方程,然后在直角坐标系下对问题进行求解,充分体现了转化与化归的数学思想.,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,2019四川一诊在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x2+2y2=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为= 4 2 sin + cos . (1)写出曲线C1的参数方程,曲线C2的直角坐标方程; (2)设M是曲线C1上一点,N是曲线C2上一点,求|MN|的最小值.,拓展变式5,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解析(1)由题意可得,曲线C1的参数方程为 = 2 cos = sin (是参数). 由= 4 2 sin + cos 得 2 sin +cos =4, 故曲线C2的直角坐标方程是x+ 2 y-4=0. (2)因为曲线C2是直线,所以|MN|的最小值即点M到曲线C2距离的最小值.设点M( 2 cos ,sin ),文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,则点M到曲线C2的距离为d= 2 cos + 2 sin 4 3 = 2 sin + 4 4 3 3 3 = 2 3 3 ,当且仅当sin(+ 4 )=1,即=2k+ 4 (kZ)时等号成立. 故|MN|的最小值是 2 3 3 .,文科数学选修4-4：坐标系与参数方程,
