1、考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布,考点清单,考向基础 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概 率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)= . (2)条件概率具有的性质 (i)0P(B|A)1; (ii)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)= P(B|A)+P(C|A) .,(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 也都相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 A与B相互独立 . 3.独
2、立重复试验及二项分布问题 (1)独立重复试验概率公式:Pn(k)= pk(1-p)n-k,它是n次独立重复试验中事 件A恰好发生k次的概率. 说明:公式中n是重复试验次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是 在n次独立试验中事件A恰好发生的次数,只有弄清公式中n,p,k的意义, 才能正确运用公式.,2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.,n,q=1-p,于是得到随机变量的概率分布列如下:,我们称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p).,(2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立 重复试验中这个事件恰好
3、发生k次的概率是P(=k)= pkqn-k,其中k=0,1,考向突破,考向 独立重复试验及二项分布问题的求解,例 (2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬 币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .,解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率 为1- = ,且XB , 均值是2 = .,答案,考点二 正态分布及其应用,考向基础 1.正态曲线及其特点 (1)正态曲线的定义 函数,(x)= ,x(-,+)(其中实数和(0)为参数)的图 象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 (i)曲线位于x轴上方且与x
4、轴不相交; (ii)曲线是单峰的,它关于直线x=对称; (iii)曲线在x=处达到峰值 ; (iv)曲线与x轴之间的面积为1;,(v)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移; (vi)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线 越“矮胖”. 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= ,(x)dx,则称 X的分布为正态分布,记作 XN(,2) . (2)正态分布的三个常用数据 (i)P(-X+)0.682 7; (ii)P(-2X+2)0.954 5; (iii)P(-3X+3)0.997 3.,知识
5、拓展 正态曲线的对称性: 对于正态曲线对应的函数,(x)= ,很显然,当=0时,(x)=是偶函数,图象关于y轴对称;当0时,图象的对称轴为直线x =,所以正态曲线是一个轴对称图形,很多关于正态分布的概率问题都 是根据其对称性求解的.,考向突破,考向 正态分布及其应用,例 已知随机变量X服从正态分布N(1,2),若P(X2a-2)=P(X3a+4),则a = ( ) A.-6 B.- C.- D.0,解析 XN(1,2), 正态曲线的对称轴为x=1. 又P(X2a-2)=P(X3a+4), 2a-2+(3a+4)=21. 解得a=0.,答案 D,方法1 独立重复试验及二项分布问题的求解方法 1.
6、n次独立重复试验中事件A恰好发生k(k=0,1,2,n)次可看作是 个互 斥事件的和,其中每一个事件都可看作是k个A事件与n-k个 事件同时 发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(p为事件A发生 的概率).因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为 pk(1-p)n-k. 2.判断某随机变量是否服从二项分布的方法: (1)在每一次试验中,事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的.,方法技巧,(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.,例1 空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量 状况的指数
7、空气质量按照AQI大小分为六级:050为优;51100为良;10 1150为轻度污染;151200为中度污染;201300为重度污染;300以上为 严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数; (2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的 天数为,求的分布列和数学期望.,解析 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质 量为良的天数为4,该样本中空气质量为优良的频率为 = ,从而估 计该地六月空气质量为优良的天数为30 =18. (2)由(1)估计某天空气质量为优
8、良的概率为 ,的所有可能取值为0,1,2, 3,且B . P(=0)= = , P(=1)= = , P(=2)= = ,P(=3)= = , 的分布列为,E=3 =1.8. 解题关键 判断出服从二项分布是解第(2)问的关键.,方法2 正态分布及其应用方法 1.在正态分布N(,2)中,的意义分别是期望和标准差,在正态分布曲 线中确定曲线的位置,而确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲 线,我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判定相应的和的大小 关系. 2.对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性,即正态分布曲线关于 直线x=对称,也可以推广到P(+0).,例2 (2014课标,18,12分)从
9、某企业生产的某种产品中抽取500件,测 量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表);,(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其 中近似为样本平均数 ,2近似为样本方差s2. (i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2); (ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量 指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX. 附: 12.2. 若ZN(,2),则P(-Z +)=0.68
10、2 6, P(-2Z +2)=0.954 4.,解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+230 0.02=200, s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+302 0.02=150. (2)(i)由(1)知,ZN(200,150), 从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 6. (ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6, 依题意知XB(100,0.682 6),所以EX=1000.682 6=68.26.,
