1、考点一 随机抽样,考点清单,考向基础 1.简单随机抽样 (1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个 不放回 地抽 取n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都 相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样方法有两种:随机数法和抽签法.,(3)分层抽样中公式的运用 (i)抽样比= = ; (ii)层1的数量层2的数量层3的数量=样本1的容量样本2的容 量样本3的容量.,2.分层抽样 (1)定义:一般地,在抽样时,将总体 分成互不交叉 的层,然后按照一 定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在 一起作为样本,这种抽样方法是
2、分层抽样. (2)应用范围:总体是由 差异明显 的几个部分组成的.,简单随机抽样与分层抽样的区别与联系,考向突破,考向 分层抽样的应用,例 某高校共有学生3 000人,新进大一学生有800人,现对大学生社团活 动情况进行抽样调查,如果用分层抽样法在全校抽取300人,那么应在大 一抽取的人数为 ( ) A.200 B.100 C.80 D.75,解析 设在大一抽取的人数为x, 则用分层抽样的方法可得 = , x=80. 故选C.,答案 C,考点二 统计图表,考向基础 1.频率分布表 (1)含义:把反映 总体频率分布 的表格称为频率分布表. (2)频率分布表的画法步骤: 第一步:求 极差 ,决定组
3、数和组距,组距= ; 第二步: 分组 ,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组 取闭区间; 第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表. 2.频率分布直方图:能够反映样本的频率分布规律的直方图. 3.频率分布直方图的特征 (1)各个小矩形的面积和为1.,(2)纵轴的含义为 ,矩形的面积=组距 =频率. (3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中 点的横坐标之和. (4)众数为最高矩形的底边中点的横坐标. 4.频率分布折线图:将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点 顺次连接起来,就得到频率分布折线图. 5.茎叶图 一般地,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生
4、长出来的数. 6.茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录,这给数据的记 录和表示都带来了方便.,考向突破,考向 统计图表的理解与应用,例 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学测 试中的选择题的成绩(单位:分;每道题5分,共8道题).已知两组数据的平均数相等,则x,y的值可以分别为 ( ) A.0,0 B.0,5 C.5,0 D.5,5,解析 根据题意得 = y-x= 5.结合各选项知选B.,答案 B,考点三 用样本估计总体,考向基础 1.众数、中位数、平均数,2.方差和标准差 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. (1)方差: s2= (x1- )2
5、+(x2- )2+(xn- )2 ;,(2)标准差:s= . 注意:方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组 数据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波 动性越大. 3.关于平均数、方差的有关性质 (1)若x1,x2,xn的平均数为 ,则mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数为m +a. (2)数据x1,x2,xn与数据x1=x1+a,x2=x2+a,xn=xn+a的方差相等. (3)若x1,x2,xn的方差为s2,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2.,考向突破,考向 用样本特征估计总体特征,例 (2017北京文,17,13分)某大学艺
6、术专业400名学生参加某次测评,根 据男女学生人数的比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学 生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得 到如下频率分布直方图:,(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率; (2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,5 0)内的人数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的 男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.,解析 本题考查频率分布直方图,古典概型,分层抽样的方法.考查运算 求解能力. (1)根据频率分布直方图可知
7、,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04) 10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为 0.4. (2)由题图,知样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10= 0.9, 分数在区间40,50)内的人数为100-1000.9-5=5. 所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400 =20.,(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)10100 =60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60 =30. 所以样本中的男生人数为
8、302=60,女生人数为100-60=40,故男生和女 生人数的比例为6040=32. 所以总体中男生和女生人数的比例估计为32. 方法总结 在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频 率,所有小长方形的面积的和等于1.,方法1 频率分布直方图的应用 从频率分布直方图中得出有关数据的方法: (1)频率=组距 ; (2)众数:最高小长方形底边中点的横坐标; (3)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点 的横坐标; (4)平均数:每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.,方法技巧,例1 (2016山东,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
9、 小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5, 30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据 直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( ),A.56 B.60 C.120 D.140 解题导引,解析 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小 时的频率为1-(0.02+0.10)2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不 少于22.5小时的人数为2000.7=140,故选D.,答案 D,方法2 样本的数字特征及用其估计总体的数字特征 1.利用频率
10、分布直方图估计样本的数字特征 (1)在样本数据的频率分布直方图中,众数就是最高矩形底边中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等, 由此可以估计中位数的值. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个 小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和. 2.平均数: = ; 方差:s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2;,标准差:s= . 方差、标准差描述数据的离散程度.,例2 已知数据x1,x2,x3,xn是某市n(n3,nN*)个普通职工的年收入, 设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的 年收入xn+1,则这(n+1)个数据中,下列说法正确的是 ( ) A.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变 B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 D.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变,解析 数据x1,x2,x3,xn是某市n(n3,nN*)个普通职工的年收入,xn+1 为世界首富的年收入,则xn+1远大于x1,x2,x3,xn,故这(n+1)个数据中,年收 入平均数大大增大;中位数可能不变,也可能稍微变大;由于数据的集中 程度受到xn+1的影响比较大,更加离散,所以方差变大.,答案 B,
