1、考点一 函数的有关概念及表示,考点清单,考向基础 1.函数的概念,2.(1)函数的三要素: 定义域 、 值域 、 对应关系 . (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与,x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值 域,显然,值域是集合B的 子集 . 3.函数的表示方法 (1)解析法:把变量x,y之间的关系用一个关系式y=f(x)来表示,通过关系式 可以由x的值求出y的值. (2)列表法:将变量x,y的取值列成表格,由表格直接反映出二者的关系. (3)图象法:把x,y之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就
2、是相应 的变量x,y的值.,考向突破,考向 函数的三要素的求法,例 设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a0,且a1),且f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)在区间 上的最大值.,解析 (1)f(1)=2, loga(1+1)+loga(3-1)=loga4=2, 解得a=2(a0,且a1), 由 得x(-1,3), 函数f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2(1+x)(3-x)=log2-(x-1)2+4, 当x0,1时,f(x)是增函数; 当x 时,f(x)是减函数. 所以函数f(
3、x)在 上的最大值是f(1)=log24=2.,考点二 分段函数,考向基础如果函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个 不同的式子来表示,那么这种函数称为 分段函数 . 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等于各 段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的 是一个函数.,考向突破,考向 分段函数中的分类讨论思想,例 已知函数f(x)= (1)在坐标系中作出函数的图象; (2)若f(a)= ,求a的取值集合. 解题导引,解析 (1)函数f(x)= 的图象如图所示:(2)当a-1时,f(a)=a+2= ,解得a=- ; 当-1a2时,f(a)=a2
4、= , 解得a= ; 当a2时,f(a)=2a= , 解得a= (舍去). 综上,a的取值集合为 .,方法1 求函数定义域的方法 1.求具体函数y=f(x)的定义域,方法技巧,(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数f(g(x)的定义域由ag(x)b 求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上 的值域.,2.求抽象函数的定义域,例1 (1)函数y= 的定义域为 ( ) A.(-2,1) B.-2,1 C.(0,1) D.(0,1 (2)已知函数f(2x)的定义域为-1,1,则函数y=f(log2x)的定义域为 . 解题导引,解析 (1
5、)由题意得 解得0x1,故选C. (2)函数f(2x)的定义域为-1,1, -1x1, 2x2. 在函数y=f(log2x)中, log2x2, x4.,答案 (1)C (2) ,4,方法2 确定函数解析式的方法 1.配凑法.已知f (h(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑 成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换. 2.待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二 次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条 件,列出方程组,解出待定系数即可. 3.换元法.已知f (h(x)=g(x),求f(x)时,往
6、往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x) 进行换元,便可求解. 4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有 其他未知量,如f 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组, 通过解方程组求出f(x).,例2 (1)已知f =lg x,求f(x); (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x); (3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式. 解题导引,解析 (1)令t= +1(x0),则x= (t1), f(t)=lg (t1),f(x)=lg (x
7、1). (2)设f(x)=ax+b(a0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a =2x+17, 故f(x)=2x+7. (3)x(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1). 以-x代x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). 由消去f(-x)得f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x(-1,1). 思路分析 (1)用的是换元法,定义法的实质也是换元;(2)用的是待定系 数法;(3)-x与x互为相反数,赋值消元可求得函数解析式.,方法3 分段函数问题的解题策略 1.已知自变量(自变量的范围)求函数值(最值、值域)
8、求函数值时要弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式;求函数的 最值或值域时,要分别求出每个区间上的最值(值域),再比较大小(求并集). 2.已知函数值(函数值的范围)求自变量的值(范围) 已知函数值求自变量的值时,可分别令每个区间的解析式等于该函数 值,解出方程的根,再与所在区间取交集;已知函数值的范围求自变量的 范围时,要分区间列不等式,解集也要注意所在区间的限制. 3.分段函数的含参问题 分段函数的有关问题综合性较强,有时含有参数,不要忽视分界点,注意,数形结合思想的运用.,例3 (1)设函数f(x)= 则f(f(2)= ;函数f(x)的值域是 ; (2)设f(x)= 对任意实数b,关于
9、x的方程f(x)-b=0总有实数根,则a的 取值范围是 .,解析 (1)由题意知f(2)= , f(f(2)=f =- -2=- . 当x1时, f(x)(0,1), 当x1时, f(x)-3,+), f(x)的值域为-3,+). (2)因为分界点a的位置影响分段函数的图象,故应先确定分界点所在的 不同位置,再在同一坐标系中画出y=x,y=x2的图象,如图.,由图可知,两函数图象交点坐标为(0,0),(1,1). 当a0时,y=f(x)的图象如图.,当ba,0)时,y=f(x)与y=b无交点,不符合题意. 当0a1时,y=f(x)的图象如图.此时,bR,y=f(x)与y=b总有交点,符合题意. 当a1时,y=f(x)的图象如图.,当ba,a2)时,y=f(x)与y=b无交点,不符合题意. 综上,a的取值范围是0,1.,答案 (1)- ;-3,+) (2)0,1,
