1、考点 三角恒等变换,考点清单,考向基础 1.两角和与差的三角函数公式 sin(+)=sin cos +cos sin ; (S+) sin(-)= sin cos -cos sin ; (S-) cos(+)=cos cos -sin sin ; (C+) cos(-)= cos cos +sin sin ; (C-) tan(+)= ; (T+) tan(-)= . (T-),cos 2=cos2-sin2= 2cos2-1 = 1-2sin2 ; (C2) tan 2= . (T2) 3.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan +tan =tan(+)(1-tan ta
2、n ); tan -tan =tan(-)(1+tan tan ). (2)升幂公式 1+cos =2cos2 ;1-cos =2sin2 .,2.二倍角公式 sin 2=2sin cos ; (S2),(4)其他常用变形 sin 2= = ; cos 2= = ; 1sin = ; tan = = .,(3)降幂公式 sin2= ;cos2= .,(1)从等式一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式两边同时变形成同一个式子. (3)将式子变形(如作差)后再证明.,5.三角恒等式的证明方法,4.辅助角公式 asin +bcos = sin(+) , 其中cos = ,sin = .,
3、考向突破,考向一 两角和与差的三角函数公式的运用,例1 已知,均为锐角,且sin = ,cos(+)=- ,则等于 ( ) A. B. C. D.,解析 为锐角且sin = ,cos = . ,均为锐角,0+. 又cos(+)=- ,sin(+)= . cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =- + = .又为锐角,= .故选A.,答案 A,考向二 简单的三角恒等变换,例2 化简 (0)= .,解析 原式 = =cos = . 00,原式=-cos .,答案 -cos ,方法1 三角函数的化简与求值问题 1.三角函数式的化简原则2.三角函数式化简的方法 化简三角函
4、数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂,方法技巧,与升幂等.,3.三角函数式求值的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系; (3)将已知条件代入所求式子,然后求值. 4.三角函数式求值的基本类型 (1)给角求值:化为特殊角的三角函数值;化为正、负相消的项,消去 求值;变形分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值. (2)给值求值:解题的关键在于“变角”,如=(+)-,2=(+)+(-)等, 把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围 的讨论.,(3)给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三 角函
5、数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角.,例1 (1)已知34,且 + = ,则= ( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 (2)sin 40(tan 10- )= ( ) A.- B.-1 C. D.-,解析 (1)30,sin 0, += + =cos -sin = cos = ,cos = , + = +2k,kZ或 + =- +2k,kZ,即=- +4k,kZ或= - +4k,kZ.又34,= 或 .故选D. (2)sin 40(tan 10- )= = =- =- =-1.故选B.,答案 (1)D (2)B,方法2 利用辅助角公式解决问题的方法 利用asin x+bc
6、os x= sin(x+) 把形如y=asin x+bcos x +k的函数化为一个角的一种三角函数的一次式,从而可以求三角函数的 单调区间、周期、值域和最值、图象的对称轴以及对称中心等问题.同 时要牢记30,45,60等特殊角的三角函数值,合理选用公式.,例2 已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,当x=时,函数y=f(x)取得最小值,则 = ( ) A.-3 B.3 C.- D. 解题导引,解析 f(x)=sin2x+sin xcos x= sin 2x- cos 2x+ = sin + , 当x=时,函数y=f(x)取得最小值,即2- =- +2k,kZ,那么2=2k- ,k Z, 则 = = =- .故选C.,答案 C,
