1、考点一 平面向量的基本概念与线性运算,考点清单,考向基础 1.向量的有关概念及表示法,2.平面向量的线性运算,考向突破,考向 向量的线性运算,例 已知平行四边形ABCD中,点E,F满足 =2 , =3 ,则 ( ) A. = - B. =- + C. = - D. =- +,解析 如图所示, = = ( + ), = = ( - ),所以 =+ + =- ( + )+ + ( - )=- + ,故选B.,答案 B,考点二 向量共线问题,考向基础向量共线的判断: 若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实数, 使得 b=a ; 若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在
2、两个均不是零的 实数、,使 a+b=0 .,拓展延伸 1.若 + =2 ,则D为BC的中点,反之也成立. 2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条 件是 = + ,且+=1,R.特别地,当= 时,C为线段AB的 中点.,考向突破,考向 向量共线的判定与性质,例 已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且ab,若x,y均为正数,则 + 的最小值 是 ( ) A.24 B.8 C. D.,解析 ab,则有-2x-3(y-1)=0,即2x+3y=3.又x,y均为正数, + = (2x+3y)= =8,
3、当且仅当2x= 3y= 时,等号成立. + 的最小值是8.故选B.,答案 B,考点三 平面向量基本定理,考向基础平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向 量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数1,2,使 a= 1e1+2e2 . 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 . 温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若1e1+2e2=0,则1=2=0.,考向突破,考向 平面向量基本定理的应用,例 如图,在ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与 BN相交
4、于点P,则 = .,解析 设 =a, =b, A、P、M,B、P、N分别共线, 存在唯一实数、 ,使得 = , = . 又M为BC的中点, = (a+b). 又 = + = + = +( - ) = + =(1-)a+ b. 根据平面向量基本定理得解得= ,= . = , = .,| | |=41,即 =4.,答案 4,考点四 平面向量的坐标运算,考向基础 1.加法、减法、数乘运算,2.向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1)
5、,b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线 x1y2-x2y1=0 .,考向突破,考向 平面向量的坐标表示与运算,例 已知点C(1,-1)、D(2,x),若向量a=(x,2)与 的方向相反,则|a|=( ) A.1 B.2 C.2 D.,解析 由C(1,-1)、D(2,x), 得 =(1,x+1), 向量a=(x,2)与 的方向相反, = ,解得x=1(舍去)或x=-2. 则|a|= =2 .故选C.,答案 C,方法1 平面向量的线性运算技巧 1.解题的关键在于弄清构成三角形三个向量间的相互关系,能熟练地找 出图形中的相等向量,能熟练地运用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某
6、个向量问题的基本技巧:观察各向量的位 置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果. 3.适当选择基底是解题关键.,方法技巧,例1 在ABC中, = ,若P是直线BN上的一点,且满足 =m +,则实数m的值为 ( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4,解析 根据题意设 =n (nR),则 = + = +n = +n( - )= +n =(1-n) + ,又 =m + , 解得 故选B.,答案 B,方法2 向量共线问题的解决方法 1.两非零向量共线是指存在实数使两向量可以互相表示. 2.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才 能表示与之共线的其他向量,要注意待定
7、系数法和方程思想的运用. 3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.,例2 已知向量i,j不共线,且 =i+mj, =ni+j,m1,若A,B,D三点共线, 则实数m,n应满足的条件是 ( ) A.m+n=1 B.m+n=-1 C.mn=1 D.mn=-1 解题导引,解析 因为A、B、D三点共线,所以 ,即存在非零实数,使得= ,即i+mj=(ni+j),所以(1-n)i+(m-)j=0,又因为i与j不共线,所以则mn=1,故选C.,答案 C,方法3 平面向量的坐标运算的解题策略 1.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标 来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化 为数量运算问题. 2.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐 标,解题过程中注意方程思想的应用.,例3 向量a= ,b=(cos ,1),且ab,则cos 2= ( ) A. B.- C. D.-,解析 ab,a= ,b=(cos ,1), tan cos =sin = . cos 2=1-2sin2=1-2 = .故选C.,答案 C,
