1、考点一 平面向量的数量积,考点清单,考向基础1.两向量夹角的定义和范围,3.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae= |a|cos . (2)当a与b同向时, ab=|a|b| ;当a与b反向时, ab=-|a|b| .,2.平面向量的数量积,特别地,aa= |a|2 . (3)|ab|a|b|.,考向突破,考向 平面向量数量积的运算,例 如图,在正方形ABCD中,AD=4,E为DC上一点,且 =3 ,则 = .,解析 解法一: = ( + )= + =0+43=12. 解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴
2、建立平面直角 坐标系,则B(4,0),E(3,4). =(4,0)(3,4)=34+04=12.,答案 12,考点二 平面向量数量积的应用,考向基础 1.向量数量积的应用 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,abab=0x1x2+y1y2=0. (2)求解夹角问题,常利用夹角公式:cos = = (其中 为a与b的夹角). (3)求线段长度问题,常利用向量的长度公式:|a|= = 或| |= .,2.向量中常用的结论 在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)在 = 的条件下,存在使得I为ABC的内心;a +b+c =0P为
3、ABC的内心. (2)| |=| |=| |P为ABC的外心. (3) + + =0G为ABC的重心. (4) = = P为ABC的垂心.,考向突破,考向一 求向量的模,例1 (2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ), C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的最大值是 .,解析 解法一:设D(x,y),则由| |=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cos ,y =sin ,R. 而 + + =(x-1,y+ ),则| + + |= =,= , 其中sin = ,cos = .显然当sin(+)=1时, | + + |取得最
4、大值 = +1. 解法二: + + = + + + , 设a= + + =(2, ), 则|a|= , + + =a+ , 则| + + |=|a+ |a|+| |= +1,当a与 同向时,| + + |取得最大值 +1.,答案 +1,考向二 求向量的夹角,例2 (1)(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)(3a+2 b),则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D. (2)(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与e1+e2 的夹角为60,则实数的值是 .,解析 (1)(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+
5、2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a |b|cos-2|b|2=0. 又|a|= |b|, |b|2- |b|2cos-2|b|2=0. cos= .0,= .选A. (2)由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 e1-e2=( ,-1),e1+e2=(1,).根据向 量的夹角公式得cos 60= = = ,所以 -= ,解 得= .,答案 (1)A (2),考向三 向量垂直的条件,例3 已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且ab,则 等于 ( ) A.- B.1 C.2 D.,解析 ab,2m-2=0,m=1,则2a-b=(0,5),a+b=(3,1)
6、,a(a+b)=13+ 21=5,|2a-b|=5, = =1,故选B.,答案 B,方法1 求平面向量的模的方法 1.把几何图形放到适当的坐标系中,写出有关向量的坐标,求向量的模. 如若向量a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|= 即可. 2.当向量的坐标无法表示时,利用向量的线性运算和向量的数量积公式 进行求解,关键是会把向量a的模进行如下转化:|a|= .,方法技巧,例1 平面向量a与b的夹角为45,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于 ( ) A.13+6 B.2 C. D. 解题导引,解析 依题意得|a|= ,ab= 2cos 45=2,|3a+b|= = = ,选D
7、.,答案 D,方法2 求平面向量的夹角的方法 1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos = ,其中两个向量的夹角 0,求解时应求出三个量:ab,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系. 2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,则cos = . 3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定 理和三角形的面积公式等内容进行求解.,例2 (2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与 b的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解题导引,解析 因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0, 所以ab=-2
8、|a|2,设a与b的夹角为,则cos = = =- ,又0, 所以= ,故选C.,答案 C,方法3 用向量法解决平面几何问题的方法 1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:建立平面几何与向量的联 系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的 问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; 把运算结果转化成几何关系. 2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐 标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂 的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.,例3 在ABC和AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,CA= ,若 + =2,则 与 的夹角的余弦值为 .,解析 由题意得 + = ( + )+ ( + )=2,即 + + + =2, 而 =1, = 1 =-1, =- , 所以1+ ( - )-1=2, =2, 设 与 的夹角为,则| | |cos =2,cos = .,答案,
