1、考点一 空间几何体的结构特征,考点清单,考向基础 1.多面体的结构特征,2.旋转体的结构特征,3.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 (1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时, 把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135), 用它们确定的平面表示水平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x轴 或y轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中 保持长度不变 ,平行 于y轴的线段,在直观图中 长度变为原来的一半 .,拓展延伸 1.特殊的四棱柱 四棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体 正四棱柱
2、正方 体 2.球的截面性质 (1)球心和不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面; (2)球心到不过球心的截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r的 关系为r= .,考向突破,考向 常见的空间几何体(柱、锥等)的结构特征,例 下列说法不正确的是 ( ) A.有两个面平行,其余各面是四边形,并且每相邻的两个四边形的公共 边都互相平行的几何体叫棱柱 B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C.直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥 D.圆台中平行于底面的截面是圆面,解析 对于A,符合棱柱的定义,所以A中说法正确;对于B,由圆锥的结构 特征“母线长相等”知过轴的截面是一个等腰三角形,
3、所以B中说法正 确;对于C,直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的几 何体是圆锥,所以C中说法不正确;对于D,由圆台的结构特征知,圆台中 平行于底面的截面是圆面,所以D中说法正确.故选C.,答案 C,考点二 空间几何体的表面积和体积,考向基础 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积,3.柱体、锥体、台体、球体的体积公式,4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,考向突破,考向 与表面积和体积有关的问题,例1 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,BAC=90, AA1=2 ,且三棱柱的所有顶点都在同
4、一球面上,则该球的表面积是 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16,解析 易知该三棱柱的外接球即为底面是正方形(边长为2)、高是2 的长方体的外接球,该外接球的直径为长方体的体对角线长,为4,故该球 的表面积为422=16.,答案 D,例2 如图,在棱长为a(a0)的正三棱锥A-BCD中,点B1,C1,D1分别在棱 AB,AC,AD上,且平面B1C1D1平面BCD,A1为BCD内一点,记三棱锥A1- B1C1D1的体积为V,设 =x,三棱锥A1-B1C1D1的体积V与x满足关系式V= f(x),则 ( ) A.当x= 时,函数f(x)取得最大值,B.函数f(x)在 上是减函数 C.函数f(
5、x)的图象关于直线x= 对称 D.存在x0,使得f(x0) VA-BCD(其中VA-BCD为正三棱锥A-BCD的体积),解析 正三棱锥A-BCD的体积VA-BCD= a3, 所以 =Vx3= a3x3, 因为 = = = , 所以f(x)=V= = a3x3 = a3x2(1-x),00, f(x)单调递增;当 x1时, f (x)0, f(x)单调递减. 因此, f(x)max=f = a3= VA-BCD.,综上,选A.,答案 A 思路分析 先根据已知中的比例关系列出f(x)的解析式,再对函数的单 调性、对称性和最值进行研究,得出正确选项.,方法1 空间几何体表面积与体积的求解方法 1.表
6、面积的求解方法 (1)求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可. (2)求旋转体(球除外)的表面积时,将旋转体(球除外)展成平面图形求其 面积,注意弄清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长 (弧长)关系. (3)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本 的柱、锥、台体等.先求出这些基本的柱、锥、台体等的表面积,再通 过求和或作差获得所求几何体的表面积.,方法技巧,2.体积的求解方法 (1)公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以 直接代入各自几何体的体积公式进行计算. (2)割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个 常见的
7、几何体,分别求出这些几何体的体积,从而得出所求几何体的体 积. (3)等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从 而进行换底换高计算.此种方法充分体现了数学中的转化思想,在运用 过程中要充分注意距离之间的等价转化.,例1 (1)(2016课标,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的 三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20 B.24 C.28 D.32 (2)(2017北京文,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积 为 ( ),A.60 B.30 C.20 D.10 解题导引 (1) (2),解析 (1)由三视图知圆锥的高为2 ,底面半径为2,则圆
8、锥的母线长为 4,所以圆锥的侧面积为 44=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为 44=16,从而该几何体的表面积为8+16+4=28,故选C. (2)根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, VP-ABC= 354=10.故选D.,答案 (1)C (2)D,方法2 与球有关的切、接问题的求解方法 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图 形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的 截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长 等于球的直径;球外接于正方体,正方体的各个顶点均在球面上,正方体 的体对角线长等于球的直径;球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面 解题;球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心、“切点” 或“接点”作出截面图进行解题.,例2 (2016课标,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( ) A.4 B. C.6 D. 解题导引,解析 易得AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则 68= (6+8 +10)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R= .此时球的体 积V= R3= .故选B.,答案 B,
