1、考点一 双曲线的定义及其标准方程,考点清单,考向基础 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|时,P点不存在.,双曲线的焦点在y轴上,则双曲线方程为 - =1(a0,b0) .,2.双曲线的标准方程 若双曲线的焦点在x轴上,则双曲线方程为 - =1(a0,b0) ;若,考点二 双曲线的几何性质,考向基础,知识拓展 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e= 两条渐近线互相垂直. (2)过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的 ABF2的周长为4a+2|AB|.(3)过双曲线的一
2、个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .,(4)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2 的面积为 .(5)焦点到渐近线的距离为b. (6)设A,B分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右顶点,P为双曲线上不 同于A,B的任意一点,则kPAkPB= .,方法1 求双曲线的标准方程的方法 1.定义法:根据题目的条件,若满足定义,求出相应的a,b的值即可求得方程. 2.待定系数法: (1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:定位:确定焦点位置; 定型:由焦点位置设方程;定值:根据条件确定相关参数的值. (2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法: 与双曲线 - =
3、1共渐近线的方程可设为 - =(0);,方法技巧,若双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线的方程可设为 - =(0;若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为 + =1(mn0)或 mx2+ny2=1(mn0).,例1 (1)(2017天津文,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点 为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原 点),则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1 (2)设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交 点的坐标为( ,4),则此双曲线的标准方程是 .,解析 (1)不
4、妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ), 所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故 选D. (2)解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为 - =1 (a0,b0),根据双曲线的定义知2a=| -|=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为- =1. 解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,3).设双曲线方程为 - =1(a 0,b0),则a2+b2=9,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1,联立,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法三:设双曲线
5、的方程为 + =1(2736), 由于双曲线过点( ,4),故 + =1, 解得1=32,2=0, 经检验,1=32,2=0都是分式方程的根,但=0不符合题意,应舍去,所以= 32. 故所求双曲线的标准方程为 - =1.,答案 (1)D (2) - =1,方法2 双曲线的渐近线与离心率的求法 1.双曲线的渐近线的求法 (1)定义法:首先确定焦点所在的坐标轴,然后利用定义直接求解 焦点 在x轴上,渐近线方程为y= x,焦点在y轴上,渐近线方程为y= x . (2)方程法:求双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令 - =0,即得两渐近线方程为 =0 .,双曲线的离心率e= = ,求双曲线的离心率只需根据一个条件得 到关于a,b,c的齐次方程,结合c2=a2+b2即可求出.,2.双曲线的离心率的求法,例2 (2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线 - =1(a 0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是 .,解析 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0, 则F(c,0)到这条渐近线的距离为 = c, b= c,b2= c2, 又b2=c2-a2, c2=4a2,e= =2.,答案 2,
